" Profe, ¿hay que estudiar la teoría? "

La importancia de conocer "las reglas del juego"

Es frecuente que, cuando se acerca un examen, los alumnos pregunten en clase, "Profe", ¿hay que estudiar la teoría?

Pensando en esta cuestión, se me ocurre un símil que puede servir para responder a estos alumnos. 

Imagínate que un niño pequeño quiere empezar a jugar al baloncesto en un equipo. Su entrenador tendrá que indicarle unas reglas muy básicas que debe conocer: "el juego consiste en introducir la pelota por el aro", "no podemos ponernos a correr sin botar la pelota", "no se puede jugar con el pie"...

En un par de años ya no le servirá con conocer solo esas reglas básicas. Necesitará conocer otras más: ¿qué es una falta personal?, ¿qué se considera "dobles"? , ¿qué son "pasos"? ...

Y si va subiendo de categoría, tendrá que conocer y cumplir todas las reglas básicas porque los árbitros se encargarán de que dichas reglas se cumplan y no le permitirán hacer lo que quiera en el campo, tendrá que respetar las reglas del juego.

Ahora bien, si piensa dedicarse al baloncesto de forma profesional necesitará conocer y respetar todas las reglas del juego (las básicas y las no tan básicas) puesto que los árbitros no dejarán pasar ni una...

                                      

Lo mismo pasa con los estudiantes. 

• Cuando están en los niveles iniciales (infantil y primaria) solo deben conocer las reglas básicas para operar, y para ello necesitan mucha práctica y muy poca teoría.

• A medida que van pasando los cursos (secundaria), la necesidad de conocer "las reglas del juego de las matemáticas" aumenta, deben aprender algunas definiciones y las propiedades más importantes para poder decidir si lo que están haciendo es correcto o no. Los alumnos aprenden por repetición, apoyándose en la memoria, "me acuerdo de que se hacía algo así...", pero no en la comprensión porque desconocen las propiedades en las que se fundamenta el proceso que deben seguir.

• Y ya en bachillerato, a los alumnos se les pide que conozcan más cuestiones de teoría (conceptos, propiedades, teoremas e, incluso, algunas demostraciones...) porque la dificultad de los ejercicios y problemas que deben resolver aumenta y requiere de esos fundamentos teóricos para enfrentarse a ellos con garantía de éxito.

Como pasa con el baloncesto, el conocimiento de las reglas del juego matemático depende, pues, del nivel en el que se encuentren los alumnos. Por lo que, a la pregunta inicial de si se debe estudiar la teoría, debemos responder que sí, pero el grado de profundización dependerá del nivel en que nos encontremos.

Como conclusión podríamos decir que el conocimiento de las cuestiones básicas de teoría es necesario para resolver ejercicios puesto que nos proporciona las herramientas para comprender si el proceso que estamos siguiendo es correcto o no.

El concepto de función

En el libro de texto que siguen mis alumnos podemos leer:

Una función relaciona dos variables numéricas a las que, habitualmente, llamamos x e y :                           x  es la variable independiente              y  es la variable dependiente.

La función, que suele denotarse por  y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y :                                                                                   x →  y = f(x)

El concepto parece bastante claro, pero si preguntas a un alumno ¿qué es para ti una función?, la mayor parte de ellos no son capaces de dar una respuesta correcta. 

Tal vez el problema sea que no se entiende el significado de alguno de los términos que aparecen en la defiinición. Así, por ejemplo:

¿Qué es una variable?

Según la RAE, una variable es una magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto. Para que nos entendamos, "una magnitud que puede tomar distintos valores". Por lo tanto, serán variables magnitudes como el tiempo, el peso de las personas, la temperatura...

¿Qué significa que una variable sea independiente?

Significa que esa variable puede cambiar libremente su valor dentro del conjunto de valores para los que está definida. Es decir, "podemos elegir el valor que toma dicha variable porque no depende de ninguna otra".

¿Qué significa que una variable sea dependiente?

Significa que el valor que toma esta variable está condicionado por el valor elegido para la variable de la que depende, es decir, su valor no es libre pues depende del valor considerado para la variable independiente.

¿Todas las relaciones entre dos variables son funciones?

No, para que una relación entre dos variables sea una función debe cumplir que asocie a cada valor de la variable independiente un único valor de la variable dependiente, es decir, que cada valor de x tenga una única imagen y.

Esto se puede observar muy fácilmente a partir de la representación gráfica:

No se trata de la gráfica de una función porque hay valores de x que tienen más de una imagen.

¿Qué significa la expresión  y = f(x)?

Con esta expresión queremos indicar que la magnitud "y" depende de los valores que tome la magnitud "x" (que será, pues, la variable independiente), y que la relación entre ellas viene dada por una función que llamamos f (la inicial de la palabra "función"), pero que podría llamarse de cualquier otro modo:  g(x) , S(x) , B(x) ...

De hecho, en Física encontramos fórmulas como  s(t) = 2 t + 5, que nos indica que el espacio "s" está relacionado con el tiempo "t" mediante la expresión s = 2t+5 . Diremos, por lo tanto, que el espacio recorrido es función del tiempo empleado. La variable independiente será el tiempo y la dependiente el espacio recorrido.

¿De qué formas pueden venir dadas las funciones?

Para dar una función necesitamos indicar la relación que existe entre dos variables, y lo podemos hacer de diversas formas:

• Mediante una gráfica, en la que representamos la variable independiente en el eje horizontal (X) y la variable dependiente en el eje vertical (Y)

     Ejemplo: La siguiente gráfica representa la variación de la temperatura de un enfermo a lo largo del día. 

 

A partir de ella es muy fácil deducir la relación entre la temperatura (variable dependiente) y la hora del día (variable independiente). Por ejemplo, a las 22 horas el enfermo tiene una temperatura de 39,5 grados, es decir,  f(22) = 39,5

• Mediante una tabla de valores:

     Ejemplo: En la siguiente tabla se indica la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses):

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. Por ejemplo, en el segundo mes el feto mide 4 cm, por lo que decimos que la imagen de 2 es 4 y lo expresamos como f(2) = 4.

• Mediante una descripción verbal (enunciado) 

    Ejemplo: En el recibo mensual del agua, la compañía suministradora nos cobra una cantidad fija de 10 € por distribución, depuración y otros conceptos, más 3 € por cada metro cúbico de agua consumida. 

• Mediante una fórmula o expresión algebraica:

     Ejemplo anterior: Si designamos por "x" el consumo de agua en un mes (en metros cúbicos) y por "y" el coste de la factura de dicho mes (en euros) obtenemos la relación  y = 3 x + 10, que también se puede expresar como f(x) = 3 x + 10.

Para hallar el coste de la factura en un mes en el que hemos consumido 20 metros cúbicos de agua solo debemos sustituir x por 20 en dicha fórmula, obteniendo un coste de 70 €. Lo podemos expresar diciendo que  f(20) = 70.

Como puedes observar, una vez que fijamos un valor concreto de la variable independiente (x=20) el valor de la variable dependiente es fijo (y=70) puesto que depende de él.

A partir de la expresión anterior podemos construir la siguiente tabla de valores:

Y representar su gráfica:

Y ahora, después de haber aclarado estas cuestiones, intenta responder a la pregunta... ¿qué es para ti una función?

Construcción de un Omnipoliedro

Quiero presentaros una actividad que realizamos en el IES Miguel Hernández de Alicante con motivo de las Jornadas Culturales. Se trata de la construcción de un Omnipoliedro en el patio del instituto.

Os preguntaréis qué es un omnipoliedro, pues es una composición realizada con los armazones de los cinco poliedros regulares, de forma que  los cinco están inscritos uno dentro de otro.

En el interior se encuentra el octaedro (amarillo), sus vértices se sitúan en  el centro de las aristas del tetraedro (rojo). Los cuatro vértices del tetraedro coinciden con otros tantos del cubo (verde). Las aristas del cubo se encuentran sobre las caras del dodecaedro (morada), y por último, el icosaedro (azul) proporciona rigidez al dodecaedro cuando las aristas de ambos se cortan el los puntos medios.

Es una actividad propuesta para los alumnos de Secundaria, preferentemente para los de 2º y 3º de ESO, puesto que en nuestro centro hemos distribuido los contenidos de geometría en las programaciones de ambos cursos. Dedicamos la primera evaluación de 2º al estudio de la geometría descriptiva plana, y parte de la tercera evaluación de 3º a la geometría descriptiva en el espacio.

A continuación, os dejo una presentación con la información relativa a esta actividad y un vídeo explicativo sobre el proceso de construcción:

                                             PRESENTACIÓN PPT:  Construcción de un Omnipoliedro

                                                                  VÍDEO:  Construcción de un Omnipoliedro

Como habéis podido comprobar, la actividad resulta muy divertida puesto que todos, profesores y alumnos, podemos pasar un rato al aire libre, aprendiendo geometría a través de la manipulación y del trabajo en equipo.