El concepto de límite de una función en el infinito.

En una entrada anterior, aclaramos el concepto de límite de una función en un punto x=a. Te dejo el enlace por si necesitas recordar dicho concepto:

El concepto de límite de una función en un punto

Ahora pretendemos comprender el concepto de límite de una función en el infinito, puesto que buscamos estudiar el comportamiento de la función cuando la variable independiente toma valores muy muy grandes positivos ("x tiende a +infinito") o muy muy grandes en valor absoluto pero negativos ("x tiende a - infinito")

Trataremos cada uno de estos casos por separado.

• Límite de una función cuando x tiende a + infinito

Con este límite estudiaremos el comportamiento de la función cuando x toma valores positivos y tan grandes como queramos. Veamos algunos ejemplos:

Simbolizamos cada una de las situaciones anteriores de la siguiente forma:

Observa ahora la interpretación gráfica de cada una de estas situaciones:

     

Es especialmente importante la situación que se presenta en la primera gráfica. Al estudiar el comportamiento de la función cuando x crece indefinidamente, nos encontramos con la existencia de una asíntota horizontal.

Por lo tanto, cuando el límite en + infinito de una función es un número L, la gráfica de dicha función presenta una asíntota horizontal, que es la recta de ecuación  y = L .

Este mismo gráfico puede ayudarnos a comprender mejor la definición formal de este tipo de límite.

Diremos que el límite de una función cuando x tiende a + infinito es un número L si podemos conseguir que la función tome valores tan próximos a L como queremos con solo tomar valores de x suficientemente grandes", o dicho de otro modo, "si podemos conseguir que la diferencia entre f(x) y L, en valor absoluto, sea tan pequeña como queremos con solo tomar valores suficientemente grandes de x".

Tal vez ahora, puedas llegar a comprender la definición formal de este tipo de límite:

• Límite de una función cuando x tiende a - infinito.

Tendremos que repetir el procedimiento anterior pero tomando valores de x muy muy negativos (muy grandes en valor absoluto pero con signo negativo).

Surgen las mismas situaciones que hemos encontrado en el apartado anterior por lo que solo te mostraré un ejemplo:

Simbolizaremos ese comportamiento diciendo que:

La interpretación gráfica aparece en la siguiente imagen en la que se nos recuerda el concepto de asíntota horizontal:

Quiero terminar mostrándote una situación curiosa. Se trata de una función que tiene dos asíntotas horizontales puesto que presenta comportamientos distintos en + infinito y en - infinito:

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Espero haberte ayudado a comprender el concepto de límite de una función cuando...