lunes, 30 de octubre de 2017

La semejanza de figuras y sus aplicaciones

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza". 

Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término "semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en forma?...

En matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño".

Observa las figuras del ejemplo siguiente:




Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma o solo lo parecen?

Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Si dividimos la medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en la figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que se llama razón de semejanza.



- - - - - - - -


¿Cómo podemos dibujar figuras semejantes?

Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar una transformación geométrica llamada homotecia:



  • Si la razón, k, es mayor que 0 se llama homotecia directa:


  • Si la razón, k, es negativa se denomina homotecia inversa:


Observa que en las homotecias directas las figuras semejantes quedan al mismo lado y en la misma posición que las originales mientras que en las inversas quedan al lado contrario y giradas respecto de las originales.

Fíjate qué forma más sencilla de dibujar un arbolito (gris) cuyos lados miden el triple (k=3) que los lados del original (verde):


¡Pero recuerda que la superficie que ocupa el árbol grande es 9 veces la superficie del pequeño!

- - - - - - - -

La semejanza en la vida cotidiana

Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los que utilizamos el concepto de semejanza:
  • Una fotografía de tamaño 10x15 cm y su ampliación a tamaño 40x60 cm. son semejantes y guardan la misma proporción tanto a lo ancho como a lo largo (k = 4)
  • Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para lo que utiliza un mapa. La escala utilizada es de 1:300000, es decir, un centímetro en el mapa representa 300000 cm = 3 km en la realidad.


  • La construcción de planos o maquetas a escala para edificios, aviones, barcos... requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.



- - - - - - - -

Razón de las áreas y volúmenes en figuras semejantes

Ya sabemos que si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r, la razón entre las longitudes de segmentos de una de ellas y sus homólogos en la otra es r, pero ¿qué pasa con las áreas y con los volúmenes?

Observa los siguientes gráficos:





Fíjate que las fórmulas anteriores son "lógicas":

- Cuando hallamos áreas multiplicamos dos longitudes (base por altura, lado por lado...) por lo que, si ambas longitudes se multiplican por r,  el área quedará multiplicada por r y por r, es decir, por r al cuadrado.

- De igual modo, cuando hallamos volúmenes multiplicamos tres longitudes (lado al cubo, lado por lado por lado, área de la base por la altura...) por lo que, si las tres longitudes se multiplican por r, el volumen quedará multiplicado por r al cubo.

- - - - - - - 

Semejanza en triángulos

En geometría se ha estudiado de una manera especial la semejanza de triángulos puesto que son figuras muy sencillas que aparecen en la descomposición de cualquier figura poligonal.


Se han establecido tres criterios que permiten identificar triángulos semejantes sin necesidad de probar que todos los lados correspondientes son proporcionales y que todos los ángulos correspondientes también son iguales:








Y aún se puede simplificar más el estudio de la semejanza de triángulos si aplicamos el siguiente criterio:

"Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos entonces son triángulos semejantes"

Cuando esto ocurre decimos que los triángulos están en posición de Thales. Observa que, en este caso, podemos conseguir que los triángulos encajen perfectamente.



- - - - - - - -

Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos se basan en el conocido "Teorema de Thales", que, por cierto, aunque lleva su nombre, no lo enunció este famoso filósofo y matemático griego si no que lo hizo Euclides varios siglos después.

Parece cierto que Thales (que nació en el año 640 a.C.) fue capaz de medir la altura de una de las pirámides de Egipto comparando su sombra con la que arrojaba, en ese mismo instante, una vara vertical.



Posteriormente se consiguieron muy buenas aproximaciones de medidas de distancias a puntos inaccesibles utilizando semejanza de triángulos.

Con el tiempo, de la semejanza de triángulos surgieron los conceptos de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo que, como ya vimos en otra entrada, dieron lugar al inicio de la trigonometría:


Como hemos indicado anteriormente, una de las aplicaciones prácticas más conocidas de la semejanza de triángulos es el cálculo de distancias inaccesibles. 

A continuación, te muestro un ejemplo:


Ahora te propongo que resuelvas tú la siguiente actividad:


Con los datos del gráfico, ¿cuál será la altura de la fachada de esa casa?

Pista: Observa que si desde la cabeza de la chica trazamos una perpendicular a la fachada de la casa se forman dos triángulos semejantes...

Cuando hagas los cálculos verás que los datos del dibujo no guardan relación con la realidad y que la altura de la fachada de la casa es de 35'8 metros... Ya ves que se trataba de un edificio muy muy alto.
- - - - - - - -

Si quieres profundizar más en este tema y practicar con ejercicios sobre semejanza de triángulos te dejo el siguiente enlace:



jueves, 12 de octubre de 2017

El concepto de derivada de una función

Como ya sabemos, una función real de variable real es una relación entre dos variables (magnitudes) de manera que a cada valor "x" de una de ellas (variable independiente) le asocia un único valor "y" de la otra (variable dependiente), llamado imagen de x o f(x). 

Por lo tanto, si queremos saber el comportamiento de una función y=f(x) cuando la variable independiente toma un valor concreto x=a no tenemos más que hallar su imagen en dicha función, es decir, obtener f(a).

Por otro lado, si lo que pretendemos estudiar es el comportamiento de una función en las proximidades de un valor x=a, debemos utilizar el concepto de límite de la función f(x) cuando x tiende al valor "a". De esta manera sabremos el comportamiento de la función cuando la variable x toma valores tan próximos al valor "a" como queremos.

Sin embargo, con frecuencia nos interesará conocer si, ante pequeños cambios en la variable independiente, la función crece o decrece, y en qué medida lo hace, es decir, si crece o decrece muy rápido o si lo hace lentamente.

Para resolver cuestiones de este tipo, utilizaremos el concepto de derivada de una función.


Históricamente, el concepto de derivada surgió al intentar dar respuesta a una serie de problemas geométricos y físicos que preocupaban a los estudiosos desde hacía muchos siglos. Principalmente, fueron:
  • El problema de la tangente a una curva.
  • El teorema de los extremos: máximos y mínimos.
Aunque, también se apuntan otros problemas como:
  • El problema de la aceleración.
  • El problema del cálculo de áreas.
- - - - - - - -

Para estudiar la variación de una función en un intervalo [a,b] podemos hacerlo a través de la tasa de variación o incremento de la función, que se define como:


Con este concepto podemos decidir si la función crece o decrece pero no en qué medida lo hace, es decir, no podemos concretar si la forma en la que crece o decrece es lenta o rápida. Para ello, tenemos que comparar el incremento de la función con el incremento o variación de x. Surge, entonces, el concepto de tasa de variación media:


En este ejemplo se observa que la función en el intervalo [2, 4] se incrementa en 3 unidades (5 - 2 = 3) por lo que deducimos que en dicho intervalo la función crece. 
Pero, ¿con qué ritmo crece?. Observamos que la variable y crece 3 unidades cuando la variable x aumenta en 2 (4 - 2 = 2), por lo tanto, su ritmo de crecimiento es de 1,5. Es decir, por cada unidad que aumenta x, la función aumenta en 1,5.


Veamos ahora la interpretación geométrica de la T.V.M.


Observa que, geométricamente, la TVM coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Pero, ¿cómo podemos estudiar el ritmo de variación de la función en un punto concreto x = a?
La idea es sencilla, estudiemos el ritmo de variación de la función en intervalos de la forma [a, a+h] que sean muy muy pequeños, tan pequeños como queramos. 

¿Y cómo podemos hacer que dichos intervalos [a, a+h] sea pequeñísimos? 
Utilizando el concepto de límite. Hagamos que h (que es el incremento de x) tienda a 0. 

De esta idea surge el concepto de tasa de variación instantánea:


En el siguiente gráfico puedes observar cómo la T.V.I. coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = a.


Definimos la derivada de una función f(x) en un punto x=a como la tasa de variación instantánea de la función en dicho punto:


El valor de dicha derivada en el punto nos indica dos cosas:
  • Por un lado, el signo de la derivada nos dice si la función crece o decrece en x=a. 
  • Por otro lado, el valor absoluto de la derivada nos informa sobre el ritmo de variación puesto que coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. 


Veamos un par de ejemplos:


Observa que, en ambos ejemplos, las funciones crecen en los puntos respectivos porque sus derivadas son positivas, (f '(1) es 3 en el primer caso, y f '(2) es 4 en el segundo), pero la segunda función crece más rápido que la primera porque su derivada, en valor absoluto, es mayor.

- - - - - - - -

Introducido el concepto de derivada de una función en un punto, tiene sentido definir una nueva función que asocie a cada valor de la variable de x el valor de su derivada en ese punto. La función así definida se llama función derivada de f(x) o, simplemente, derivada de f(x) : f '(x)


- - - - - - - -

Aplicando esta definición se fueron deduciendo fórmulas para hallar la derivada de muchos tipos de funciones (reglas de derivación), y se fueron encontrando múltiples aplicaciones de la derivada. 

Os dejo un par de enlaces por si queréis profundizar en estos temas: 





jueves, 5 de octubre de 2017

El papel de las muestras en Estadística

Podemos entender la Estadística como la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos necesarios, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones sobre dicha población.

Consideramos población o universo al conjunto de todos los elementos (individuos, objetos o fenómenos) que son objeto de nuestro estudio estadístico. 

Lo que ocurre es que, en muchas ocasiones, es muy complicado realizar el estudio sobre toda la población por alguno de los siguientes motivos:
  • Porque la población es muy numerosa y sería muy laborioso obtener los datos de todos sus elementos.
  • Porque sería muy costoso económicamente realizar el estudio con todos los individuos.
  • Porque al realizar dicho estudio desaparecen los objetos estudiados y, al acabar el proceso, no tendríamos individuos. Por ejemplo, estamos estudiando el número de horas que pueden estar encendidas las bombillas de un cierto modelo. Si realizamos el estudio sobre todas las bombillas existentes nos quedaríamos sin ninguna porque todas acabarían fundidas. El estudio sería muy preciso pero no tendríamos bombillas para vender...
Es por este motivo por el que frecuentemente decidimos realizar el estudio sobre una parte de la población a la que denominamos muestra




Como puedes observar en el gráfico anterior, la muestra seleccionada debe ser representativa del total de la población (hay tornillos de todos los tipos, marrones, naranjas, blancos...), puesto que después de analizar los datos de la muestra y extraer conclusiones sobre ella, pretendemos generalizar (inferir) dichas conclusiones a toda la población.

El proceso que sigue la Estadística Inferencial sería, pues, el siguiente:


El muestreo es el proceso que se sigue para seleccionar un conjunto de individuos de una población con el fin de estudiarlos y poder caracterizar el total de la población.


El proceso de selección de la muestra es fundamental para que el estudio estadístico sobre la población sea correcto.
Existen numerosos métodos para realizar muestreos estadísticos. Suele elegirse aquel que se considera que es el más adecuado para el estudio que queremos realizar.


El muestreo es útil gracias a que podemos acompañarlo de un proceso inverso, que llamamos generalización o inferencia.
Pero, la generalización de los resultados de una muestra a una población conlleva aceptar que cometemos cierto error, tal y como ilustra el siguiente esquema:


Afortunadamente, el error que cometemos al generalizar resultados puede acotarse gracias a la estadística. Para ello usamos dos parámetros: 
  • El margen de error, que es la máxima diferencia que esperamos que haya entre el dato observado en la muestra y el dato real en la población.
  • El nivel de confianza, que es el nivel de certeza que tenemos de que realmente el dato real esté dentro del margen de error.

Entonces, ¿qué tamaño de muestra necesito usar para estudiar cierta población? 
Depende del tamaño de la población y del nivel de error que esté dispuesto a aceptar. Cuanta más precisión exijamos, mayor tamaño de muestra necesito. Si quiero tener una certeza absoluta en mi resultado, hasta el último decimal, mi muestra tendrá que ser tan grande como mi universo.
Pero el tamaño de la muestra tiene una propiedad fundamental que explica porqué el muestreo se usa tanto en tantos ámbitos del conocimiento. Esta propiedad podría resumirse como sigue: "a medida que estudio poblaciones mayores, el tamaño de muestra que necesito cada vez representa un porcentaje menor de dicha población". Observa el siguiente cuadro en el que nos indica el tamaño de muestra necesaria para tener un error del 5% con un nivel de confianza del 95%:

Los datos anteriores nos dicen que por grande que sea la población (o universo), con 385 personas puedo estudiar cualquier dato con el mismo nivel de error (margen de 5%, confianza de 95%). Por esta razón el muestreo es tan poderoso: nos permite hacer afirmaciones altamente precisas de una gran cantidad de individuos a través de un parte muy pequeña de los mismos.

Según lo que acabamos de ver, los estudios estadísticos realizados con rigor son altamente fiables. La estadística no se equivoca, son las personas que hacen estudios estadísticos las que se equivocan, en muchos casos de forma deliberada, para obtener conclusiones que son favorables a sus intereses.


Resumimos a continuación las principales ventajas e inconvenientes de usar muestreo frente a estudiar toda la población.

Ventajas:
  • Necesitamos estudiar menos individuos por lo que necesitaremos menos recursos (tiempo y dinero).
  • La manipulación de datos es mucho más simple. Si con una muestra de 1.000 personas tengo suficiente, ¿para qué quiero analizar un fichero de millones de registros?
Inconvenientes:
  • Introducimos error (controlado) en el resultado, debido a la propia naturaleza del muestreo y a la necesidad de generalizar resultados.
  • Tenemos el riesgo de introducir sesgos debido a una mala selección de la muestra. Por ejemplo, si la forma en que seleccionamos individuos para la muestra no es aleatoria, los resultados sobre la población pueden verse seriamente afectados.