La semejanza de figuras y sus aplicaciones

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza". 

Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término "semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en forma?...

En matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño".

Observa las figuras del ejemplo siguiente:

Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma o solo lo parecen?

Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Si dividimos la medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en la figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que se llama razón de semejanza.

- - - - - - - -

¿Cómo podemos dibujar figuras semejantes?

Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar una transformación geométrica llamada homotecia:

• Si la razón, k, es mayor que 0 se llama homotecia directa:

• Si la razón, k, es negativa se denomina homotecia inversa:

Observa que en las homotecias directas las figuras semejantes quedan al mismo lado y en la misma posición que las originales mientras que en las inversas quedan al lado contrario y giradas respecto de las originales.

Fíjate qué forma más sencilla de dibujar un arbolito (gris) cuyos lados miden el triple (k=3) que los lados del original (verde):

¡Pero recuerda que la superficie que ocupa el árbol grande es 9 veces la superficie del pequeño!

- - - - - - - -

La semejanza en la vida cotidiana

Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los que utilizamos el concepto de semejanza:

• Una fotografía de tamaño 10x15 cm y su ampliación a tamaño 40x60 cm. son semejantes y guardan la misma proporción tanto a lo ancho como a lo largo (k = 4)

• Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para lo que utiliza un mapa. La escala utilizada es de 1:300000, es decir, un centímetro en el mapa representa 300000 cm = 3 km en la realidad.

• La construcción de planos o maquetas a escala para edificios, aviones, barcos... requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

- - - - - - - -

Razón de las áreas y volúmenes en figuras semejantes

Ya sabemos que si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r, la razón entre las longitudes de segmentos de una de ellas y sus homólogos en la otra es r, pero ¿qué pasa con las áreas y con los volúmenes?

Observa los siguientes gráficos:

Fíjate que las fórmulas anteriores son "lógicas":

- Cuando hallamos áreas multiplicamos dos longitudes (base por altura, lado por lado...) por lo que, si ambas longitudes se multiplican por r,  el área quedará multiplicada por r y por r, es decir, por r al cuadrado.

- De igual modo, cuando hallamos volúmenes multiplicamos tres longitudes (lado al cubo, lado por lado por lado, área de la base por la altura...) por lo que, si las tres longitudes se multiplican por r, el volumen quedará multiplicado por r al cubo.

- - - - - - - 

Semejanza en triángulos

En geometría se ha estudiado de una manera especial la semejanza de triángulos puesto que son figuras muy sencillas que aparecen en la descomposición de cualquier figura poligonal.

Se han establecido tres criterios que permiten identificar triángulos semejantes sin necesidad de probar que todos los lados correspondientes son proporcionales y que todos los ángulos correspondientes también son iguales:

Y aún se puede simplificar más el estudio de la semejanza de triángulos si aplicamos el siguiente criterio:

"Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos entonces son triángulos semejantes"

Cuando esto ocurre decimos que los triángulos están en posición de Thales. Observa que, en este caso, podemos conseguir que los triángulos encajen perfectamente.

- - - - - - - -

Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos se basan en el conocido "Teorema de Thales", que, por cierto, aunque lleva su nombre, no lo enunció este famoso filósofo y matemático griego si no que lo hizo Euclides varios siglos después.

Parece cierto que Thales (que nació en el año 640 a.C.) fue capaz de medir la altura de una de las pirámides de Egipto comparando su sombra con la que arrojaba, en ese mismo instante, una vara vertical.

Posteriormente se consiguieron muy buenas aproximaciones de medidas de distancias a puntos inaccesibles utilizando semejanza de triángulos.

Con el tiempo, de la semejanza de triángulos surgieron los conceptos de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo que, como ya vimos en otra entrada, dieron lugar al inicio de la trigonometría:

Primeros pasos en trigonometría

Como hemos indicado anteriormente, una de las aplicaciones prácticas más conocidas de la semejanza de triángulos es el cálculo de distancias inaccesibles. 

A continuación, te muestro un ejemplo:

Ahora te propongo que resuelvas tú la siguiente actividad:

Con los datos del gráfico, ¿cuál será la altura de la fachada de esa casa?

Pista: Observa que si desde la cabeza de la chica trazamos una perpendicular a la fachada de la casa se forman dos triángulos semejantes...

Cuando hagas los cálculos verás que los datos del dibujo no guardan relación con la realidad y que la altura de la fachada de la casa es de 35'8 metros... Ya ves que se trataba de un edificio muy muy alto.

- - - - - - - -

Si quieres profundizar más en este tema y practicar con ejercicios sobre semejanza de triángulos te dejo el siguiente enlace:

Semejanza de figuras. Aplicaciones.

Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

¿Qué es una magnitud? 

De una manera sencilla, podemos decir que una magnitud es aquella propiedad de los cuerpos que puede ser medida.

Pero, ¿qué es medir?

Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie tomada como patrón de medida.

Así por ejemplo, cuando decimos que una habitación mide 5 metros de larga es porque podemos llevar el patrón de medida, llamado metro, cinco veces a lo largo de dicha habitación.

Una vez aclarado lo que entendemos por "magnitud", vamos a distinguir entre "magnitudes escalares" y "magnitudes vectoriales".

MAGNITUDES ESCALARES

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas mediante un valor numérico y su unidad de medida.

Por ejemplo, son magnitudes escalares la longitud, la superficie, el volumen, la masa, el tiempo, la temperatura...

De este modo, decimos que una persona mide 1'72 metros, que una habitación tiene una superficie de 8 metros cuadrados, que una piscina tiene un volumen de 100 metros cúbicos de agua, que un niño tiene una masa de 25 kilos, que una clase dura 50 minutos o que en la calle hay 30ºC de temperatura...  

MAGNITUDES VECTORIALES

Son aquellas magnitudes que vienen determinadas por un valor numérico, la unidad de medida correspondiente, una dirección y un sentido.

Fíjate en el siguiente ejemplo en el que pretendemos determinar el desplazamiento de una tortuga:

Si decimos que una tortuga se ha desplazado dos metros no podemos saber con exactitud dónde se encuentra aunque sepamos el punto de partida puesto que podría estar en infinitos puntos (Fig.1 a)). 

Aunque digamos que se ha desplazado en dirección "Norte-Sur" tampoco lo sabremos con precisión, puesto que podría estar en dos puntos (Fig.1 b)). 

Pero si decimos que se ha desplazado 2 metros en dirección NS y en sentido hacia el Norte, sí sabremos la posición final de la tortuga puesto que ahora sólo puede estar en un punto (Fig.1 c)).

Son magnitudes vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza...

En todas ellas, debemos indicar, además del valor numérico y la unidad de medida, la dirección y el sentido que tienen.

Para representar gráficamente magnitudes vectoriales utilizamos vectores, que se definen en matemáticas como "segmentos orientados".

Utilizamos el siguiente vector para indicar que un móvil se ha desplazado desde el punto A (origen) hasta el punto B (extremo):

• Se denomina módulo a la distancia que hay desde el origen hasta el extremo, es decir, es la longitud del vector.
• Se denomina dirección a la que tiene la recta sobre la que se apoya el vector o cualquier paralela a ésta.
• Se denomina sentido al que va desde el origen hasta el extremo, y viene indicado por la flecha.

EN RESUMEN:

Primeros pasos en trigonometría.

En esta entrada pretendo introducirte en el increíble mundo de la trigonometría, que, por desgracia, suele ser una parte de las matemáticas que no goza de muchas simpatías entre los alumnos, seguramente porque se han dedicado a estudiarla aprendiéndose de memoria las innumerables fórmulas que aparecen en los libros de texto, y así, desde luego, la trigonometría resulta muy aburrida.

No quiero que sea un curso acelerado de trigonometría, solo vamos a dar los primeros pasos para entender las nociones básicas y las aplicaciones prácticas que tiene.

En posteriores entradas iremos ampliando nuestros conocimientos sobre el tema.

- - - - - - - - - - -

• La palabra "trigonometría" proviene del griego y significa "medida de triángulos". Por lo tanto, la trigonometría es la parte de las matemáticas que se dedica a estudiar las relaciones entre los elementos de un triángulo (sus 3 lados y sus 3 ángulos)

Ya desde antiguo, los estudiosos de la geometría observaron que en los triángulos rectángulos semejantes la razón entre las longitudes de dos de sus lados se mantenía constante. Y lo utilizaron, entre otras cosas, para hallar medidas inaccesibles:

Si dibujamos un ángulo agudo "alfa" y trazamos varias perpendiculares a uno de los lados, formamos varios triángulos rectángulos semejantes, como se observa en la figura:

Observa que la razón (cociente) entre los lados AB y OA es igual que la razón entre A'B' y OA', y la misma también que la razón entre A''B'' y OA''. Lo mismo ocurre si dividimos cualquier otra pareja de lados correspondientes en dos de dichos triángulos. 

Por lo tanto, el resultado de dichas razones (cocientes) solo depende del ángulo considerado y no del triángulo rectángulo que tomemos. 

Decidieron, pues, poner nombre a cada una de las razones entre los lados de un triángulo rectángulo. De ahí surgieron las definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo:

• Como puedes apreciar en las definiciones anteriores, las razones trigonométricas de ángulos agudos son cocientes entre longitudes, por lo tanto son NÚMEROS POSITIVOS (sin unidad de medida).

¡¡ Ojo !!  Todo esto cambiará cuando pasemos a trabajar con ángulos cualesquiera. Lo dicho anteriormente, solo sirve para ángulos agudos.

• Por otra parte, es muy importante que comprendas que las razones trigonométricas son números asociados a cada ángulo, por lo que es imprescindible que no olvides indicar el ángulo en cada razón trigonométrica. No tiene sentido, pues, escribir "sen", "cos" o "tg" si no indicamos a su derecha el ángulo de que estamos hallando las razones trigonométricas.

Es una "falta de ortografía matemática" escribir expresiones como:  

Supongo que estarás pensando: "Pero qué más da, si se entiende bien lo que quiero decir..." 

No da igual, tienes que esforzarte en expresar adecuadamente lo que dices porque siempre debemos hablar y escribir de forma correcta, incluso cuando usamos lenguaje matemático.

- - - - - - - - -

• Utilizando las definiciones anteriores y algunos recursos básicos de geometría (el teorema de Pitágoras y la propiedad, conocida por todos, que asegura que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados), podemos hallar la medida de todos los elementos de un triángulo rectángulo conociendo tres de ellos (recuerda que uno de los ángulos es conocido porque es recto).

- - - - - - - - - -

¿Y qué interés práctico puede tener todo esto?

Lo curioso es que esos números (seno, coseno y tangente de un ángulo) que, de momento, no parecen tener ninguna utilidad, nos van a ayudar a resolver innumerables problemas en el futuro.

En contra de los que muchos estudiantes piensan, la trigonometría tiene muchísimas aplicaciones prácticas en campos tan diversos como pueden ser la geometría, física, arquitectura, ingeniería, cartografía, navegación, topografía, geografía, astronomía, meteorología, economía...

Es una herramienta muy útil que nos ayuda a resolver problemas como, por ejemplo:

• La obtención de la inclinación de una recta, por ejemplo, una carretera  (geometría o topografía):

• El cálculo de distancias de difícil acceso (topografía):

• El estudio de los planos inclinados en física:

• El estudio de los movimientos de ondas como la luz, el sonido o las ondas magnéticas (física):

• Determinación de modelos de temperatura o la estimación del techo de la nube (meteorología):

• La obtención de las coordenadas geográficas de un punto de la Tierra (geografía):

• La utilización de los sistemas de navegación por satélite:

• El uso de instrumentos como el GPS, por ejemplo:

• El cálculo de la distancia entre estrellas y otros cuerpos celestes (astronomía):

• La obtención de ángulos en el cielo (astronomía):

• Cálculo de distancias y fuerzas en arquitectura:

• Estudio del comportamiento cíclico de los mercados  y de la economía:

• Y otras aplicaciones que puedes encontrar si tienes interés y dedicas un rato a buscar en internet...

En la siguiente imagen se resumen algunas de las aplicaciones que hemos mencionado anteriormente:

- - - - - - - - - - -

Como ves, solo hemos dado unas pinceladas sobre el tema. Únicamente hemos definido las tres razones trigonométricas básicas y hemos visto algunas de las muchas aplicaciones del tema.

Ojalá haya conseguido motivarte para que cuando tengas que estudiar la trigonometría en clase lo hagas con ilusión puesto que es muy probable que tengas que utilizar estos recursos con frecuencia en el futuro. 

- - - - - - - - - - -

Si quieres profundizar en el tema puedes trabajar con los materiales que encontrarás en los siguientes enlaces:

MATEX: Trigonometría (1º parte)

MATEX: Trigonometría (2º parte)

"Profe, pero...¿qué es la ecuación de una recta?"

El estudio de la geometría analítica supone un cambio importante en la visión que tienen los alumnos de la geometría.

Las figuras (rectas, circunferencias, parábolas...) ya no son simples líneas, si no que vienen determinadas por unas ecuaciones que las caracterizan.

La idea de escribir este artículo surge de una experiencia real ocurrida cuando explicaba las ecuaciones de una recta a un grupo de alumnos de 4º ESO.

Después de una breve incursión en el mundo de los vectores, empezamos a estudiar las ecuaciones de la recta.

Los alumnos saben que una recta viene determinada por dos puntos, y, a partir de esta idea, introducimos el concepto de vector director de la recta como un vector que nos indica la dirección de la recta. 
Recordamos el concepto de pendiente de una recta que ya estudiaron en 3º al trabajar el tema dedicado a las funciones lineales.

Vemos que todos estos elementos están relacionados puesto que, a partir de dos puntos A y B, podemos formar el vector AB que nos da la dirección de la recta y, también, hallar la pendiente de dicha recta:

Les hablo entonces de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta, y el procedimiento para pasar de unas a otras. Y les insisto en que son expresiones aparentemente distintas de la misma recta.

Para finalizar, resolvemos un ejercicio que nos sirva de ejemplo. 

El ejercicio nos pide que hallemos las distintas ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(2,1) y B(4,5).

Calculamos con detalle el vector director AB = (4-2, 5-1) = (2, 4) y la pendiente, m = 4/2 = 2, hallamos la ecuación punto-pendiente   y = 1 + 2(x - 2)   y, a partir de ella, la ecuación explícita   y = 2x - 3   y la ecuación general   2x - y - 3 = 0. 

El ejercicio quedó perfecto, todo muy claro. Pero, cuando me disponía a borrar la pizarra para continuar con la explicación, una de mis alumnas levanta la mano y me pregunta: 

"Profe, pero... ¿qué significa que y = 2x - 3  sea la ecuación de la recta?"

En principio, la pregunta me sorprendió porque había explicado con detalle todos los pasos del ejercicio y parecía que todo había quedado claro. 

Es posible que los profesores nos centremos demasiado en enseñar a nuestros alumnos los procedimientos para obtener las distintas ecuaciones de la recta, y pasemos por alto lo más importante, explicar qué es realmente la ecuación de una recta. O, tal vez, sí que expliquemos el significado de la ecuación de la recta pero nuestros alumnos no lleguen a entenderlo.

Pero, ¿de qué sirve que sepan hallar la ecuación de una recta en todas las situaciones posibles si no comprenden lo que representa la ecuación que han obtenido?

Entonces, contesté a mi alumna del siguiente modo:

"La ecuación de una recta nos indica la relación que deben cumplir las coordenadas x e y de un punto P(x,y) para pertenecer a dicha recta".

Por lo tanto, que la ecuación de la recta del ejemplo sea y = 2x - 3 significa que los puntos situados en dicha recta se caracterizan por tener una ordenada (y) que es igual al producto de su abscisa (x) por 2, menos 3 unidades. 

Entonces, ¿cómo podemos saber si el punto P(5,7) pertenece a la recta anterior?

Debemos comprobar si las coordenadas x=5 e y=7 verifican la ecuación de la recta, es decir, si al sustituir x por 5 (que es la abscisa del punto P) en la ecuación y = 2x - 3 obtenemos como resultado 7 (que es la ordenada de P).

A continuación, les propuse que comprobaran si el punto Q(1,0) pertenecía a la recta anterior. Rápidamente respondieron que no.

Ya podíamos continuar con la explicación porque los alumnos habían comprendido el significado de la ecuación de una recta.

--------------------------------------------

Además, ahora ya pueden entender el significado de la ecuación de cualquier curva, por ejemplo, la ecuación de una circunferencia o de una parábola.

                

¿Qué significa que la ecuación de una curva sea y=f(x) (en forma explícita) o f(x,y)=0 (en forma implícita)? Significa que para que un punto genérico P(x,y) pertenezca a dicha curva sus coordenadas x e y deben cumplir la relación dada por dicha ecuación.

-----------------------------------------

Y cuando trabajen en el espacio tridimensional, comprenderán el sentido que tiene la ecuación general de un plano o las ecuaciones implícitas de una recta, puesto que, nuevamente, indicarán las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un punto genérico del espacio P(x,y,z) para estar situado en dicho plano o en dicha recta.

Como puedes ver, la idea es siempre la misma. Por eso es tan importante que sepas responder con claridad a la pregunta que originó este artículo: "¿Qué es la ecuación de una recta?"