Aplicaciones de la probabilidad en la vida real

En una entrada anterior tratamos el concepto de probabilidad y vimos cómo podemos asignar probabilidades a los sucesos. Te dejo el enlace por si quieres recordarlo:

Cómo asignar probabilidades a los sucesos

Como en clase solemos trabajar la probabilidad con ejemplos basados en sencillos juegos de azar (tirar una moneda, lanzar un dado, extraer una carta de una baraja o una bola de una urna...) es posible que pienses que solo sirve para ganar en los juegos de azar, y no es así.

Siguiendo con nuestra pretensión de mostrar la utilidad de las matemáticas, vamos a presentar algunas aplicaciones de la probabilidad en la vida real.

La estadística y la probabilidad son ramas de las matemáticas tan cercanas a nosotros que muchas veces, a veces sin darnos cuenta, las utilizamos en nuestro lenguaje cotidiano. Así decimos que "esto es poco probable que ocurra" cuando algo no sucede muy a menudo, o "aquello es muy probable que suceda" cuando ocurre con mucha frecuencia.

Como veremos a continuación, las personas utilizamos la probabilidad para intentar tomar las mejores decisiones posibles en situaciones de lo más variadas.

Veamos algunas de ellas:


- Juegos de azar: Casinos

Como comprenderás, los dueños de los casinos están en el negocio para ganar dinero por lo que han estudiado muy bien cuál es la probabilidad de que el cliente gane en cada juego y saben perfectamente que dicha probabilidad es baja.

- Meteorología

Las predicciones que hacen los meteorólogos sobre el tiempo que hará en los próximos días se hace en base a los patrones de lo que ha ocurrido en años anteriores y se expresa en términos de probabilidad: "la probabilidad de que llueva es del 90%"

- Decisiones médicas

Si un paciente necesita que le realicen una cirugía querrá saber cuál es la probabilidad de éxito para decidir si se opera o no. Lo mismo pasa cuando se tiene que iniciar un tratamiento, sería deseable conocer la probabilidad de éxito en base a los resultados obtenidos previamente en otros pacientes.

- Esperanza de vida

Es una medida del promedio de años que se espera que viva una persona en las condiciones de mortalidad del período que se calcula. Se basa en el cálculo de la probabilidad de muerte o de vida de la población a partir de los datos recogidos sobre nacimientos y defunciones, distribuidos por sexo, edades, territorios...

- Primas de seguros

Las compañías de seguros de coches analizan la edad y el historial del cliente en el momento de decidir el tipo de prima que va a aplicar. Si ha tenido varios accidentes lo más probable es que pueda tener otro por lo que su prima será más alta.
Lo mismo pasa con el resto de los seguros (seguros médicos, seguros de vida...)

- Análisis de riesgos

Antes de tomar una decisión importante se debe hacer un análisis del riesgo que conlleva tomarla. 
Así, por ejemplo, los gobiernos y las empresas utilizan métodos basados en estudios probabilísticos para estudiar la repercusión que tendrán las medidas que van a tomar y así poder elegir aquéllas que sean las más acertadas o las menos arriesgadas.

- Mercado de materias primas

Un ejemplo puede ser la repercusión que sobre el mercado de materias primas puede tener cualquier conflicto. Por ejemplo, el precio del petróleo varía en función de la probabilidad de que haya un conflicto en alguna zona de producción. De este modo, si se percibe una probabilidad alta de que haya guerra en Oriente Medio el precio del petróleo se dispara.

- Fiabilidad de los productos: Probabilidad de avería

En el diseño de muchos bienes de consumo como coches, electrodomésticos, móviles... se utiliza la teoría de la fiabilidad para reducir la probabilidad de avería. 
Esta probabilidad de avería también está relacionada con la garantía que el fabricante hace del producto.

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• Si tienes curiosidad, busca, investiga... y seguro que encontrarás otras muchas aplicaciones de la probabilidad.

• Y si quieres ver algunas aplicaciones de la estadística puedes visitar la entrada que dedicamos a ello:

                                                         Aplicaciones de la estadística

¡Como ves, la probabilidad no es solo cosa de los juegos de azar!

El papel de las muestras en Estadística

Podemos entender la Estadística como la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos necesarios, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones sobre dicha población.

Consideramos población o universo al conjunto de todos los elementos (individuos, objetos o fenómenos) que son objeto de nuestro estudio estadístico. 

Lo que ocurre es que, en muchas ocasiones, es muy complicado realizar el estudio sobre toda la población por alguno de los siguientes motivos:

• Porque la población es muy numerosa y sería muy laborioso obtener los datos de todos sus elementos.

• Porque sería muy costoso económicamente realizar el estudio con todos los individuos.

• Porque al realizar dicho estudio desaparecen los objetos estudiados y, al acabar el proceso, no tendríamos individuos. Por ejemplo, estamos estudiando el número de horas que pueden estar encendidas las bombillas de un cierto modelo. Si realizamos el estudio sobre todas las bombillas existentes nos quedaríamos sin ninguna porque todas acabarían fundidas. El estudio sería muy preciso pero no tendríamos bombillas para vender...

Es por este motivo por el que frecuentemente decidimos realizar el estudio sobre una parte de la población a la que denominamos muestra. 

Como puedes observar en el gráfico anterior, la muestra seleccionada debe ser representativa del total de la población (hay tornillos de todos los tipos, marrones, naranjas, blancos...), puesto que después de analizar los datos de la muestra y extraer conclusiones sobre ella, pretendemos generalizar (inferir) dichas conclusiones a toda la población.

El proceso que sigue la Estadística Inferencial sería, pues, el siguiente:

El muestreo es el proceso que se sigue para seleccionar un conjunto de individuos de una población con el fin de estudiarlos y poder caracterizar el total de la población.

El proceso de selección de la muestra es fundamental para que el estudio estadístico sobre la población sea correcto.

Existen numerosos métodos para realizar muestreos estadísticos. Suele elegirse aquel que se considera que es el más adecuado para el estudio que queremos realizar.

El muestreo es útil gracias a que podemos acompañarlo de un proceso inverso, que llamamos generalización o inferencia.

Pero, la generalización de los resultados de una muestra a una población conlleva aceptar que cometemos cierto error, tal y como ilustra el siguiente esquema:

Afortunadamente, el error que cometemos al generalizar resultados puede acotarse gracias a la estadística. Para ello usamos dos parámetros: 

• El margen de error, que es la máxima diferencia que esperamos que haya entre el dato observado en la muestra y el dato real en la población.

• El nivel de confianza, que es el nivel de certeza que tenemos de que realmente el dato real esté dentro del margen de error.

Entonces, ¿qué tamaño de muestra necesito usar para estudiar cierta población? 

Depende del tamaño de la población y del nivel de error que esté dispuesto a aceptar. Cuanta más precisión exijamos, mayor tamaño de muestra necesito. Si quiero tener una certeza absoluta en mi resultado, hasta el último decimal, mi muestra tendrá que ser tan grande como mi universo.

Pero el tamaño de la muestra tiene una propiedad fundamental que explica porqué el muestreo se usa tanto en tantos ámbitos del conocimiento. Esta propiedad podría resumirse como sigue: "a medida que estudio poblaciones mayores, el tamaño de muestra que necesito cada vez representa un porcentaje menor de dicha población". Observa el siguiente cuadro en el que nos indica el tamaño de muestra necesaria para tener un error del 5% con un nivel de confianza del 95%:

Los datos anteriores nos dicen que por grande que sea la población (o universo), con 385 personas puedo estudiar cualquier dato con el mismo nivel de error (margen de 5%, confianza de 95%). Por esta razón el muestreo es tan poderoso: nos permite hacer afirmaciones altamente precisas de una gran cantidad de individuos a través de un parte muy pequeña de los mismos.

Según lo que acabamos de ver, los estudios estadísticos realizados con rigor son altamente fiables. La estadística no se equivoca, son las personas que hacen estudios estadísticos las que se equivocan, en muchos casos de forma deliberada, para obtener conclusiones que son favorables a sus intereses.

Resumimos a continuación las principales ventajas e inconvenientes de usar muestreo frente a estudiar toda la población.

Ventajas:

• Necesitamos estudiar menos individuos por lo que necesitaremos menos recursos (tiempo y dinero).
• La manipulación de datos es mucho más simple. Si con una muestra de 1.000 personas tengo suficiente, ¿para qué quiero analizar un fichero de millones de registros?

Inconvenientes:

• Introducimos error (controlado) en el resultado, debido a la propia naturaleza del muestreo y a la necesidad de generalizar resultados.
• Tenemos el riesgo de introducir sesgos debido a una mala selección de la muestra. Por ejemplo, si la forma en que seleccionamos individuos para la muestra no es aleatoria, los resultados sobre la población pueden verse seriamente afectados.

Aplicaciones de la estadística

La estadística es la parte de las matemáticas que estudia la técnica o el método que se sigue para recoger, organizar, resumir, representar, analizar, generalizar y predecir resultados de las observaciones de fenómenos aleatorios.

Día a día realizamos muchas acciones y tomamos decisiones a partir de un pensamiento estadístico y casi nunca somos conscientes de ello. 

Por ejemplo, cuando no subimos al metro en horas punta es porque sabemos que ese no es el mejor momento para hacerlo. Esta decisión la tomamos a partir de la experiencia y de la información que hemos recopilado previamente sobre una situación similar.

La estadística está presente en prácticamente todos los aspectos de nuestra vida, porque a partir de todas nuestras actividades es posible recopilar datos que, después de ser analizados, nos permiten tomar decisiones. Esta es la ciencia que estudia los fenómenos inciertos o las situaciones que no se pueden predecir  con certeza, pero sobre los cuales podemos recabar información.

En áreas como la medicina, la economía, la agricultura, la ciencia o la política, se recoge información que, tras ser analizada, permite la toma de decisiones, en muchos casos trascendental, para el avance o la mejora de alguna situación o aspecto relacionado. Por ello, se considera que la estadística es un factor fundamental en el avance científico,  en la mejora del control de calidad de la producción, en la creación de políticas públicas o en lograr que un tratamiento farmacéutico sea más efectivo.

¿Cómo se realiza una investigación estadística?

               Podemos distinguir las siguientes etapas:

                       1.  Definición del problema

                       2.  Objetivo de estudio

                       3.  Definición del diseño de muestreo

                       4.  Recogida de datos

                       5.  Tratamiento de los datos

                            -  Organización (tablas estadísticas)

                            -  Elaboración de gráficos

                            -  Cálculo de parámetros estadísticos adecuados

                       6.  Conclusiones

Aplicaciones de la estadística

Ya hemos mencionado antes que la estadística está presente en muchos aspectos de la vida cotidiana pero vamos a detallar algunas aplicaciones concretas en algunos de esos campos.

• Ciencias Naturales: Estudios de campo en biología (Bioestadística), descripción de modelos termodinámicos complejos (Mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de fluidos o en la teoría cinética de los gases.

• Medicina: Estudio de la evolución de las enfermedades y los enfermos, estudios para determinar el estado de salud de la población, elaboración de los índices de mortalidad asociados a ciertos fenómenos, grado de eficacia de un medicamento...

• Agricultura: Para analizar el rendimiento de distintos tipos de semilla o abono en la cosecha.

• Psicología: Para elaborar las escalas de los test y cuantificar aspectos del comportamiento humano (por ejemplo, los test que se aplican a los candidatos para un cargo en una empresa)

• Economía: Para medir la evolución de los precios mediante números índice (IPC...), calcular el EURIBOR, obtener la tasa de paro,  estudiar los hábitos de los consumidores a través de encuestas de presupuestos familiares, tomar decisiones en los mercados financieros...

• Administración de empresas: Para evaluar un producto antes de comercializarlo, hacer previsión de ventas y de productividad.

• Industria: Establecer sistemas de control de calidad, secuenciación de tareas, rutas de transporte, localización de almacenes...

• Ciencias políticas: Para conocer las preferencias de los electores antes de una votación mediante sondeos y así orientar las estrategias de los candidatos.

• Sociología: Para estudiar las opiniones de los colectivos sociales sobre temas de actualidad, para conocer rasgos, aficiones o intereses particulares de la población.

• Ciencias Sociales: Para medir las relaciones entre distintas variables y hacer predicciones sobre ellas.

Es tal la importancia que tiene la estadística en nuestra sociedad que muchos de los estudios universitarios tienen alguna asignatura sobre estadística entre sus planes de estudio.

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Hemos hablado sobre las aplicaciones de la estadística pero no hemos dicho apenas nada sobre los procedimientos que se siguen en estadística.

Si quieres profundizar sobre este apasionante tema te dejo varios enlaces con material muy interesante:

Estadística descriptiva unidimensional

Estadística bidimensional (Regresión y correlación)

Inferencia estadística

"El pensamiento estadístico será un día tan necesario para el/la ciudadano/a como la capacidad de leer y escribir"

H.G.Helles

¿Cómo asignar probabilidades a los sucesos?

Aunque el concepto de probabilidad parece muy básico e intuitivo, he observado que algunos alumnos no lo tienen tan claro. En esta entrada pretendo trabajar el concepto desde un punto de vista muy elemental para aclarar algunas posibles confusiones.

En este tema trabajaremos con experiencias aleatorias que son aquellas cuyo resultado no es conocido con certeza puesto que depende del azar.

Llamaremos suceso a los posibles resultados de una acción que depende del azar.

La probabilidad pretende medir las posibilidades que hay de que un suceso ocurra, por eso, en el lenguaje cotidiano utilizamos expresiones como "es poco probable que mañana llueva" cuando queremos indicar que hay pocas posibilidades de que mañana llueva, o "es muy probable que apruebe el examen" cuando pretendemos indicar que hay muchas posibilidades de que apruebe el examen. 

Sin embargo, asociar "probabilidad" con "posibilidad" puede llevarnos a confusiones graves. Por ejemplo, si preguntamos "¿qué probabilidad hay de que apruebes el curso?", alguien podría razonar del siguiente modo: "como solo hay dos posibilidades (aprobar o suspender) la probabilidad de cada una es del 50%..."  ¡¡Grave error!!

Vamos a reflexionar sobre algunas cuestiones:

• ¿Cómo podemos comparar la probabilidad de dos sucesos para decidir cuál es más probable que ocurra? Para resolver este problema, los estudiosos del tema decidieron que la probabilidad fuera un número comprendido entre 0 y 1, que es una escala que utilizamos con frecuencia, y que, además, puede expresarse cómodamente en forma de porcentaje (multiplicando por 100).

De esta forma, cuando la probabilidad de un suceso sea un número muy próximo a 1 diremos que es muy probable que ocurra, y si la probabilidad es muy próxima a 0, diremos que es poco probable que ocurra.

• Para comprender la forma de asignar probabilidades, vamos a trabajar con un experimento aleatorio regular muy sencillo: Lanzamos un dado cúbico y anotamos la puntuación de la cara superior.

¿Qué es más probable, que aparezca la cara 1 o una puntuación PAR en la cara superior?

Es evidente que es más probable el segundo suceso, pero analicemos por qué.

Solo hay una opción de que ocurra el suceso "obtener cara 1" de entre los 6 resultados posibles, mientras que el suceso "obtener puntuación PAR" se realiza cuando en la cara superior sale o un 2 o un 4 o un 6. Hay, pues, 3 opciones de que ocurra de entre las 6 posibles, por eso decimos que es más probable ya que hay más posibilidades de que ocurra.

Por lo tanto, parece que una buena medida de la probabilidad de un suceso es la proporción de casos favorables a que ocurra dicho suceso entre el número de casos posibles.

Lo mismo sucede con otras muchas experiencias que llamamos regulares (aquellas en las que todos los posibles resultados tienen las mismas posibilidades de ocurrir).

En todas ellas podemos asignar probabilidades aplicando la conocida Regla de Laplace:

• Ahora vamos a realizar otra experiencia aleatoria sencilla para ilustrar un error relativamente frecuente:  Sacamos una bola de una urna en la que tenemos 3 bolas azules y 5 bolas rojas.

¿Qué probabilidad hay de que la bola extraída sea azul?

Algunos alumnos responden que  1/3  y lo razonan diciendo que deben extraer una de las 3 bolas azules que hay en la urna. ¡¡Grave error!!

Según ese razonamiento habrá una probabilidad 1/5 de que salga roja, es decir, para ellos es más probable que salga azul que roja. ¿No resulta extraño? ¿Dónde está el error?

Como habrás podido comprender, el error se debe a una errónea aplicación del concepto de probabilidad puesto que es evidente que hay 5 opciones de obtener bola roja por solo 3 de que sea azul.

La asignación correcta de probabilidades sería:

La probabilidad de extraer bola azul es de 3 bolas azules de entre las 6 bolas posibles, es decir:

P(Azul) =  3/8.

La probabilidad de extraer bola roja es de 5 bolas rojas de entre las 8 posibles, por lo tanto:

P(Roja) =  5/8.

• Hasta ahora hemos trabajado con dos experiencias regulares, pero ¿qué ocurre cuando la experiencia no es regular?

Estudiemos el experimento que consiste en lanzar una chincheta y observar en qué posición cae.

¿Cuál es la probabilidad de que caiga con la punta hacia arriba?

Nuevamente, podemos cometer el error de razonar diciendo que solo hay dos posibilidades (punta hacia arriba o punta hacia un lado) por lo que la probabilidad de cada opción sería del 50%.

Está claro que dicha probabilidad depende de la forma de la chincheta, de si tiene la "cabeza" muy grande o más pequeña, por lo que no podemos asignar una probabilidad igual en todos los casos.

No nos quedará más remedio que experimentar. 

Lanzamos la chincheta muchísimas veces y asignamos como probabilidad de cada suceso la frecuencia relativa obtenida en dicha experiencia, es decir:

Por ejemplo, si hemos lanzado la chincheta 1000 veces, y en 650 de los lanzamientos cayó con la punta hacia arriba, diremos que la probabilidad de que la chincheta caiga con la punta hacia arriba es  650/1000 = 0,65.

Hemos de insistir en que la frecuencia relativa es una buena aproximación de la probabilidad solo cuando realizamos la experiencia muchísimas veces. Si realizamos la experiencia pocas veces, el valor de la frecuencia relativa puede alejarse mucho del valor real de la probabilidad.

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Por último, os dejo un enlace a un vídeo en el se explican los conceptos básicos de probabilidad, con ejemplos muy sencillos:

Aprendiendo probabilidades