Las funciones en la vida cotidiana (1ª parte)

Uno de los conceptos más importantes de las matemáticas modernas es el de FUNCIÓN. Como ya hemos dedicado una entrada anterior a explicar este concepto, te dejo el enlace por si necesitas revisarlo:

El concepto de función

Ahora pretendo que conozcas algunas aplicaciones de las funciones a situaciones de la vida cotidiana, para que comprendas la importancia que tiene este tema en tu formación.

Las funciones determinan las relaciones que existen entre distintas magnitudes tanto en Matemáticas, como en Física, Química, Medicina, Estadística, Economía, Ingeniería, Psicología... y permiten, entre otras muchas cosas, poder calcular los valores de cada una de ellas en función de otras de las que depende.

Los principales tipos de funciones son:

1. Funciones lineales.
2. Funciones cuadráticas.
3. Funciones racionales. La función de proporcionalidad inversa.
4. Funciones exponenciales.
5. Funciones logarítmicas.
6. Funciones trigonométricas.

Dedicaremos este artículo a los tres primeros tipos de funciones, y trataremos los otros tres tipos en un artículo posterior.

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1.  LAS FUNCIONES LINEALES

Son las funciones polinómicas de primer grado.

La representación gráfica será una recta cuya pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a la otra y la ordenada en el origen nos informa sobre las condiciones iniciales. 

Un caso particular de funciones lineales son funciones de proporcionalidad en las que las magnitudes que se relacionan son directamente proporcionales. 

Por ejemplo, en economía decimos que "el precio de una compra es directamente proporcional al número de unidades compradas de un cierto producto", por lo tanto la función que relaciona ambas magnitudes es una función de proporcionalidad. 

Veamos este otro ejemplo: "El precio de la factura de la luz depende de una cantidad fija (alquiler del contador...) más una cantidad variable que es proporcional al consumo efectuado". En este caso, la relación entre el consumo efectuado y el coste de la factura viene dado por una función afín (también considerada como el caso general de función lineal)

En economía hay dos funciones que tienen especial trascendencia, como son la función de la oferta y la función de la demanda, que se consideran lineales y son las dos funciones que determinan el equilibrio de mercado.

También se aplica al cálculo de costos y precios de productos, consumo de productos...

En física se estudia el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en el cual, la posición de un móvil en función del tiempo viene dada mediante funciones lineales.

En la ciencia en general se utilizan con mucha frecuencia, por ejemplo, para hallar tasas de variación (por ejemplo, en el cálculo de velocidades o en el estudio de reacciones químicas). 

También se usan para efectuar cambios de unidades de medida (por ejemplo, pasar de kilómetros a millas, o de grados centígrados a grados Fahrenhein) y para realizar predicciones siempre que la relación entre las variables sea aproximadamente lineal.

2.  LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

Son las funciones polinómicas de segundo grado.

Se usan con mucha frecuencia en la ciencia, los negocios y la ingeniería. 

En el ámbito científico, la parábola puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente o el botar de una pelota, y otras muchas situaciones físicas en las que interviene la gravedad.

En física, permite estudiar con precisión el tiro parabólico (por ejemplo, la trayectoria de un proyectil, la trayectoria de un balón lanzado a canasta...) y los movimientos uniformemente acelerados (MUA)

En economía, las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, y determinar los valores máximos y mínimos puesto que en muchas ocasiones la función "ingresos" sigue un modelo cuadrático.

En ingeniería civil, se usan las funciones cuadráticas en la construcción de muchos edificios, puentes...

3.  LAS FUNCIONES RACIONALES

Son aquellas funciones cuya expresión analítica viene dada por un cociente de polinomios.

Las más sencillas son las funciones de proporcionalidad inversa, que relacionan dos variables que son inversamente proporcionales.

La función de proporcionalidad inversa aparece en numerosos fenómenos físicos y sociales. Algunos casos comunes ilustrativos de la aplicación de este tipo de funciones serían:

• La relación entre el caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito de una capacidad determinada.

• La relación entre el número de pacientes que asiste a una consulta médica de horario limitado y el tiempo que puede dedicar el médico a cada paciente.

• La relación entre la intensidad de corriente y la resistencia eléctrica en una porción de circuito sometida a una diferencia de potencial constante, conocida como ley de Ohm: V = I x R . La intensidad y la resistencia son magnitudes inversamente proporcionales.

• La relación entre la presión y el volumen en un gas ideal sometido a una temperatura constante k, que sigue el principio conocido como ley de Boyle-Mariotte: P x V = k.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados obtenidos en otras funciones más complejas ya que son simples de calcular pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

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Espero que, después de mostrarte las numerosas aplicaciones de estos tipos de funciones, las estudies con más interés. 

Pero ahí no acaba todo, si quieres conocer aplicaciones de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas a la vida real solo tienes que pulsar en el siguiente enlace:

Las funciones en la vida cotidiana (2ª parte)

La regla de Ruffini

Como habrás podido comprobar en más de una ocasión, la forma tradicional de dividir dos polinomios es bastante engorrosa.

Sin embargo, el matemático y médico italiano Paolo Ruffini (1755-1822) encontró una forma muy sencilla de obtener los coeficientes del cociente y del resto de la división de un polinomio cualquiera entre un binomio que tenga la forma x-a.

Lo que hizo fue, simplemente, observar con detalle cómo se realizaba el algoritmo de la división de un polinomio P(x) entre x-a, y eliminar lo que no era necesario para obtener el cociente y el resto. Básicamente, dejó de escribir todas las x.

Fíjate en el siguiente ejemplo:

Si comparas con cuidado ambas divisiones comprobarás que toda la información relevante de la primera división está en las columnas de la división realizada usando el método de Ruffini. Todo lo demás es innecesario. 

En el siguiente enlace podrás apreciar con detalle cómo se efectúa cada una de las divisiones y la relación entre ambos procedimientos:

Ejemplo realizado paso a paso

• Ahora vamos a recordar cómo se realizan los cálculos en la regla de Ruffini:

Recuerda los pasos que debes seguir para aplicar la regla de Ruffini:

• Ordenamos el dividendo de mayor a menor grado y escribimos sus coeficientes en línea, completando con 0 cuando falte algún término (recuerda que si un término no aparece es porque está multiplicado por 0, luego su coeficiente es 0)

• Escribimos el término a del binomio x-a en el lugar destinado al divisor (segunda fila, a la izquierda)

• Bajamos el coeficiente del término de mayor grado del dividendo.

• Multiplicamos dicho coeficiente por a y colocamos el resultado debajo del segundo coeficiente del dividendo.

• Sumamos estos números y colocamos el resultado debajo.

• Repetimos este proceso hasta acabar con todos los coeficientes del dividendo.

• Separamos el elemento que está situado a la derecha de la fila de las sumas (la última) que será el RESTO de la división.

• Volvemos a colocar las x en los términos correspondientes al COCIENTE.

Veamos ahora otro ejemplo. En este caso, el divisor es x+1 por lo que a = -1:

Como puedes comprobar, la regla de Ruffini no es más que una forma rápida y sencilla de efectuar divisiones en las que el divisor tenga la forma x-a. 

También se puede emplear cuando el divisor tenga otras formas (ax+b, por ejemplo) pero no es muy habitual hacerlo.

• Por último, te indicaré algunas situaciones en las que será muy útil emplear la regla de Ruffini:

Sabes que una división que tiene resto 0 se denomina exacta. Pues bien, las divisiones exactas entre polinomios nos permiten hallar raíces enteras de un polinomio (es decir, números enteros que sustituidos en el lugar de la indeterminada del polinomio dan valor numérico 0) y, también, factorizar polinomios.

Veamos un ejemplo:

Estos procedimientos serán muy necesarios, por ejemplo, para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de varios polinomios, para sumar o restar fracciones algebraicas e, incluso, para resolver ecuaciones de grado mayor o igual a 2, pero eso ya lo veremos en otra entrada posterior...

Si estás interesado en repasar el cociente de polinomios, la regla de Ruffini y las técnicas para factorizar polinomios, puedes hacerlo con el material interactivo que encontrarás en los siguientes enlaces. Se trata de un material elaborado por la Junta de Extremadura (Proyecto ATENEX) y es muy interesante. Te lo recomiendo:

COCIENTE DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Errores en las aproximaciones

Es muy frecuente que, al trabajar con números, tengamos que utilizar valores aproximados. A veces, lo hacemos porque nos resulta más cómodo pero, en otras ocasiones, nos vemos obligados a usarlos porque no conocemos el valor exacto y nos resulta muy difícil o imposible obtenerlo.

Por otro lado, cuando realizamos mediciones obtenemos valores generalmente aproximados.

En cualquier caso, es fundamental controlar el error que cometemos en dicha aproximación para decidir si el valor aproximado es suficientemente bueno o no.

• Vamos a comenzar estudiando el caso en el que conocemos tanto el valor real como el valor aproximado.

Es una situación muy frecuente. Se da, por ejemplo, siempre que decidimos redondear un número conocido, considerando solo algunas de sus cifras (las llamadas, cifras significativas). En este caso, es muy fácil conocer el error cometido en la aproximación.

Definimos el ERROR ABSOLUTO como la diferencia entre el valor real y el valor aproximado, considerada en valor absoluto:

Así, por ejemplo, si decidimos aproximar 2'624 por 2'6 hemos cometido un error absoluto de 0'24 unidades:

Pero, ¿hemos realizado una buena aproximación o no? Dicho de otro modo, ¿el error cometido es grande o pequeño?

El concepto de error absoluto no nos permite responder a estas cuestiones con claridad. 

Te pondré un ejemplo:

"Imagina que estás contando los 30 alumnos del grupo 3ºA y cometes un error de 3 alumnos. Tu compañera ha contado todos los alumnos del instituto, que son 600, y también ha cometido un error de 3 alumnos". ¿Qué medición crees que ha sido mejor? 

Observa que los dos habéis cometido el mismo error absoluto, 3 alumnos... Pero, claro, no es lo mismo cometer un error de 3 personas cuando contamos un grupo de 30 que cuando lo hacemos con un grupo de 600, ¿verdad?

Para valorar la calidad de una medición o de una aproximación, o para comparar varias mediciones introducimos el concepto de ERROR RELATIVO que se define como el cociente entre el error absoluto cometido y el valor exacto:

Es muy frecuente, expresar el error relativo en forma de porcentaje, multiplicando el valor obtenido por 100. De esta manera, es más fácil valorar si el error relativo es suficientemente pequeño como para considerar que hemos realizado una buena aproximación, o si el error es grande y debemos buscar una aproximación mejor tomando alguna cifra significativa más.

Así, en el ejemplo anterior, al cometer un error absoluto de 3 personas cuando pretendíamos contar los 30 alumnos de 3ºA cometimos un error relativo de 3/30 = 0'1, que representa un 10% de error relativo porcentual.

Sin embargo, cuando cometimos un error absoluto de 3 personas al contar los 600 alumnos de todo el instituto, cometimos un error relativo de 3/600 = 0'005, lo que representa un 0'5% de error relativo porcentual.

Deducimos que, en el primer caso cometimos un error relativo muy grande, mientras que en el segundo caso, el error relativo ha sido pequeñísimo.

Por lo tanto, si queremos comparar distintas aproximaciones o si queremos decidir si una aproximación es buena o mala, debemos trabajar siempre con errores relativos.

El error relativo es el que nos indica la calidad de la medida que hemos tomado o de la aproximación realizada.

Veamos otro ejemplo más: 

Estamos midiendo la longitud y la altura de una mesa de la que conocemos las medidas reales, que son las siguientes:

• Pero, ¿qué pasa si no conocemos el valor real (o valor exacto) del número o de la medición?

Esta situación también es muy habitual. Se da, por ejemplo, siempre que pretendemos trabajar con números irracionales. No podemos expresar el valor exacto de un número irracional porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Tendremos que conformarnos con tomar un valor aproximado.

En estos casos, no podemos calcular el error absoluto ni el relativo porque no conocemos el valor real. ¿Cómo podremos valorar si la aproximación considerada es buena o mala?

Para ello, introducimos los conceptos de COTA DEL ERROR ABSOLUTO y COTA DEL ERROR RELATIVO.

Partimos del siguiente ejemplo:

Tomamos 2'4 como valor aproximado de un número obtenido mediante redondeo. ¿Cuál es el máximo error absoluto que hemos podido cometer? 

Si hemos aplicado bien la técnica del redondeo, el número exacto debe estar comprendido entre 2'35 y "casi" 2'45, por lo que el máximo error se cometería cuando el número exacto fuera 2'35, en cuyo caso el error absoluto sería 0'05 unidades.

Por lo tanto, podemos asegurar que el error absoluto cometido en nuestra aproximación será menor o igual que 0'05 unidades. 

A ese valor (0'05) se le denomina cota del error absoluto.

Observa cómo hemos obtenido dicha cota:

La última cifra significativa considerada en la aproximación es el 4, que representa la cifra de las décimas.

La cota del error absoluto es la mitad de una unidad del orden de la última cifra significativa considerada. En nuestro ejemplo, la cota es la mitad de una décima, es decir:

Ea < 0'1/2 = 0'05

También podemos decir que la cota del error absoluto es 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.

En nuestro ejemplo, la primera cifra no utilizada en el redondeo es la de las centésimas, por lo que, según este criterio, la cota del error absoluto serían 5 centésimas.

La cota del error relativo se obtiene dividiendo la cota del error absoluto entre el valor conocido (que es el aproximado). 

En el ejemplo anterior, la cota del error relativo cometido sería 0'05/2'4 = 0'0208333..., que pasado a porcentaje, indica que el error relativo cometido al tomar el valor 2'4 como si fuera exacto es inferior al 2%.

Pongamos otro ejemplo:

Esta aproximación del número "pi", ¿es suficientemente buena? ¿Qué error cometemos cuando la utilizamos?

Como la última cifra significativa utilizada es 4, que corresponde con la cifra de las centésimas, la cota del error absoluto sería la mitad de una centésima:

Ea < 0'01/2 = 0'005

Y, por lo tanto:

Er < 0'005/3'14 = 0'00159...

Es decir, al tomar el valor de "pi" como 3'14 cometemos un error relativo inferior al 0'159%. 

Como puedes comprender, es un error pequeñísimo que nos permite utilizar dicha aproximación con toda tranquilidad, salvo que estemos realizando cálculos de una enorme precisión.

Resumiendo:

• Es muy frecuente trabajar con números aproximados, bien porque no conozcamos los valores exactos o porque resulte muy engorroso trabajar con muchas cifras significativas.

• Cuando trabajemos con números aproximados debemos controlar la precisión de dicha aproximación, y, para ello calcularemos el error relativo (si se conoce el valor real y el valor aproximado) o una cota del error relativo (cuando solo se conozca el valor aproximado)

Los números racionales y los irracionales.

Hemos dedicado una entrada anterior a los números naturales y los enteros:

Los números naturales y los enteros

Ahora pretendemos aclarar los que se entiende por número racional y por número irracional.

Como sabemos, los números naturales surgieron de la necesidad de contar y ordenar objetos. Pero también fue necesario realizar medidas, y no todas las medidas se podían representar por cantidades enteras. De ahí surgió la idea de fracción.

La primera gran civilización que utilizó las fracciones fue la egipcia, pero solo usaban fracciones con numerador igual a 1.  

El resto de fracciones se expresaban como suma de fracciones con numerador unitario. Así, por ejemplo:

Nuestra notación habitual para designar fracciones fue introducida en Europa por Fibonacci en el siglo XIII.

A principios del siglo XV se generalizó el uso de los números decimales, pero hasta el siglo XVII no se expresaban como les conocemos hoy, separando la parte entera de la decimal con una coma o con un punto.

- Pero, ¿qué es un número racional?

Un número racional es aquel que puede expresarse en forma de fracción (es decir, como cociente de dos números enteros con denominador distinto de 0).

Observa que en la definición decimos "que puede expresarse en forma de fracción", y no "que venga expresado necesariamente en forma de fracción" . Por lo tanto, no debemos confundir los números racionales con las fracciones.

Dentro de los números racionales se incluyen muchos números que no son fracciones, pero que se pueden expresar como fracciones. Así, son números racionales:

• Los números enteros:  Por ejemplo, el 7, puesto que

• Los números decimales finitos:  Por ejemplo, 0'045, ya que

• Los números decimales infinitos periódicos (puros o mixtos):

    

El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q, que es la inicial de la palabra "quotient" (cociente, en inglés)

-  Y entonces, ¿cuáles son los números irracionales?

Pues, como su propio nombre nos indica, son los números no racionales, es decir, los números que no pueden expresarse en forma de fracción. 

Por lo tanto, los números irracionales son los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas.

Ya en el siglo VII a.C. los griegos descubrieron las magnitudes irracionales al comparar la diagonal y el lado de un cuadrado o la diagonal y el lado de un pentágono regular.

Llamaron "irracionales" a estas magnitudes porque su existencia "no entraba dentro de su conocimiento racional".

Así fueron surgiendo algunos números irracionales muy conocidos:

• El "número áureo o número phi", al comparar la diagonal de cualquier pentágono regular con su lado.

• El número "raíz cuadrada de 2", al hallar la diagonal de un cuadrado de lado 1 unidad.

• El famoso "número pi", al comparar la longitud de una circunferencia con su diámetro.

Veamos algunos ejemplos de irracionales:

El conjunto de todos los números irracionales se representa con la letra I.

Ahora, fíjate en algunos irracionales muy conocidos:

• Por último, tenemos el conjunto R de los números reales que está formado por todos los números racionales y por todos los irracionales:

R = Q U I

Espero que ahora comprendas mejor esos esquemas que suelen aparecer en los libros de texto, explicándonos los distintos conjuntos numéricos. Aquí te dejo uno de ellos:

Podríamos decir que en el conjunto de los números reales están incluidos todos los números que necesitamos para realizar nuestros cálculos (todos los números que, para nosotros, "existen"...) pero aún hay varios problemas que no somos capaces de resolver con este enorme conjunto numérico:

• No podemos dividir entre cero.

• No podemos calcular raíces cuadradas de números negativos, por lo que no sabemos resolver ciertas ecuaciones de segundo grado que parecen muy elementales.

Para resolver estos problemas tendremos que introducir otros conceptos como son la noción de infinito y el conjunto de números complejos, pero eso ya es otra historia...

Os dejo unos enlaces en los que podéis encontrar vídeos que muestran algunas curiosidades de los números irracionales. Espero que os gusten:

EL NÚMERO DE ORO. LA DIVINA PROPORCIÓN

EL NÚMERO "PI"

FIBONACCI