Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

¿Qué es una magnitud? 

De una manera sencilla, podemos decir que una magnitud es aquella propiedad de los cuerpos que puede ser medida.

Pero, ¿qué es medir?

Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie tomada como patrón de medida.

Así por ejemplo, cuando decimos que una habitación mide 5 metros de larga es porque podemos llevar el patrón de medida, llamado metro, cinco veces a lo largo de dicha habitación.

Una vez aclarado lo que entendemos por "magnitud", vamos a distinguir entre "magnitudes escalares" y "magnitudes vectoriales".

MAGNITUDES ESCALARES

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas mediante un valor numérico y su unidad de medida.

Por ejemplo, son magnitudes escalares la longitud, la superficie, el volumen, la masa, el tiempo, la temperatura...

De este modo, decimos que una persona mide 1'72 metros, que una habitación tiene una superficie de 8 metros cuadrados, que una piscina tiene un volumen de 100 metros cúbicos de agua, que un niño tiene una masa de 25 kilos, que una clase dura 50 minutos o que en la calle hay 30ºC de temperatura...  

MAGNITUDES VECTORIALES

Son aquellas magnitudes que vienen determinadas por un valor numérico, la unidad de medida correspondiente, una dirección y un sentido.

Fíjate en el siguiente ejemplo en el que pretendemos determinar el desplazamiento de una tortuga:

Si decimos que una tortuga se ha desplazado dos metros no podemos saber con exactitud dónde se encuentra aunque sepamos el punto de partida puesto que podría estar en infinitos puntos (Fig.1 a)). 

Aunque digamos que se ha desplazado en dirección "Norte-Sur" tampoco lo sabremos con precisión, puesto que podría estar en dos puntos (Fig.1 b)). 

Pero si decimos que se ha desplazado 2 metros en dirección NS y en sentido hacia el Norte, sí sabremos la posición final de la tortuga puesto que ahora sólo puede estar en un punto (Fig.1 c)).

Son magnitudes vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza...

En todas ellas, debemos indicar, además del valor numérico y la unidad de medida, la dirección y el sentido que tienen.

Para representar gráficamente magnitudes vectoriales utilizamos vectores, que se definen en matemáticas como "segmentos orientados".

Utilizamos el siguiente vector para indicar que un móvil se ha desplazado desde el punto A (origen) hasta el punto B (extremo):

• Se denomina módulo a la distancia que hay desde el origen hasta el extremo, es decir, es la longitud del vector.
• Se denomina dirección a la que tiene la recta sobre la que se apoya el vector o cualquier paralela a ésta.
• Se denomina sentido al que va desde el origen hasta el extremo, y viene indicado por la flecha.

EN RESUMEN:

Actividades matemáticas para unas Jornadas Culturales

En muchos centros de enseñanza se celebran a lo largo del curso Jornadas Culturales dedicadas a realizar actividades diferentes a las que se hacen en el resto de las jornadas lectivas.  El objetivo de que los alumnos aprendan de una forma más lúdica y divertida, a través de seminarios, talleres, charlas, exposiciones... que organizan los distintos Departamentos del centro.

A continuación, os mostraré algunas de las actividades que ha organizado el Departamento de matemáticas del I.E.S. Miguel Hernández de Alicante en los últimos cursos.

CONSTRUCCIÓN DE UN OMNIPOLIEDRO

Como tal vez recuerdes, es una actividad que hemos desarrollado en una entrada anterior, por eso te dejo el enlace que te lleva directamente a ella:

Construcción de un omnipoliedro

EXPOSICIÓN DE FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA

En los últimos cursos hemos realizado esta actividad en varias ocasiones. Para ello, hemos buscado fotografías con contenido matemático y con ellas hemos confeccionado unas láminas plastificadas que exponemos en algunos pasillos del centro. Por ejemplo:

Algunas fotografía pueden llegar a ser muy imaginativas; por ejemplo, la que te muestro a continuación:

¿Descubres el contenido matemático que quiere trasmitir su autor? 

Te daré una pista, el resultado es "512". 
¿Lo has descubierto ya?

No me digas que no es ingenioso...

El curso pasado colocamos un folio debajo de cada fotografía y pedimos a los alumnos que anotaran en él el título que les sugería la foto, buscando siempre su relación con las matemáticas. Algunos títulos fueron muy interesantes e imaginativos. 

Para los próximos cursos, hemos decidido transformar la exposición en concurso. Pediremos a los alumnos que quieran participar que entreguen una fotografía de contenido matemático, realizada por ellos, junto con el título propuesto y una breve explicación de su relación con las matemáticas. 
Pensamos que puede ser una actividad interesante para que los alumnos descubran las matemáticas que hay en su entorno, en su vida cotidiana.
En próximas entradas os mostraré los resultados de los concursos de fotografía matemática que realicemos. 

CONCURSO DE VOCABULARIO MATEMÁTICO

Elaboramos tres tipos de láminas plastificadas que colocamos, desordenadas, a lo largo del pasillo.

En cada lámina de color naranja aparece un término matemático, en cada lámina de color verde, un dibujo o esquema explicativo y en las de color crema, la definición de uno de los términos.

El concurso consiste en agrupar los tríos de láminas correspondientes (cada término con su dibujo y su definición)

Es un concurso pensado para alumnos de 1º y 2º de ESO, pero puede adaptarse para cualquier nivel.

CONCURSO SOBRE ENIGMAS MATEMÁTICOS

Elaboramos láminas plastificadas en las que colocamos el  enunciado de un enigma matemático.

Repartimos dichas láminas por los pasillos del centro y pedimos a los alumnos/as participantes que entreguen las respuestas razonadas de aquellos enigmas que hayan conseguido resolver.

Os dejo varios ejemplos extraídos de libros como "El gran libro de los enigmas" y otros similares, que podéis encontrar en el mercado:

                                        

EL CUBO DE RUBIK

Uno de los profesores del departamento da una charla práctica en la que presenta a los alumnos/as distintos tipos de "cubos de Rubik" (muchos de los cuales no son cubos precisamente) y van practicando con distintas estrategias que permiten resolverlos.

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He pretendimos mostrar solo unos ejemplos de actividades que se pueden realizar. Lo importante es que el alumno pueda percibir también el aspecto más divertido y lúdico de las matemáticas, y no se quede sólo con la parte formal y "seria" que se suele mostrar en las clases habituales.

Recuerda:  LAS MATEMÁTICAS TAMBIÉN PUEDEN SER DIVERTIDAS

Las funciones en la vida cotidiana (1ª parte)

Uno de los conceptos más importantes de las matemáticas modernas es el de FUNCIÓN. Como ya hemos dedicado una entrada anterior a explicar este concepto, te dejo el enlace por si necesitas revisarlo:

El concepto de función

Ahora pretendo que conozcas algunas aplicaciones de las funciones a situaciones de la vida cotidiana, para que comprendas la importancia que tiene este tema en tu formación.

Las funciones determinan las relaciones que existen entre distintas magnitudes tanto en Matemáticas, como en Física, Química, Medicina, Estadística, Economía, Ingeniería, Psicología... y permiten, entre otras muchas cosas, poder calcular los valores de cada una de ellas en función de otras de las que depende.

Los principales tipos de funciones son:

1. Funciones lineales.
2. Funciones cuadráticas.
3. Funciones racionales. La función de proporcionalidad inversa.
4. Funciones exponenciales.
5. Funciones logarítmicas.
6. Funciones trigonométricas.

Dedicaremos este artículo a los tres primeros tipos de funciones, y trataremos los otros tres tipos en un artículo posterior.

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1.  LAS FUNCIONES LINEALES

Son las funciones polinómicas de primer grado.

La representación gráfica será una recta cuya pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a la otra y la ordenada en el origen nos informa sobre las condiciones iniciales. 

Un caso particular de funciones lineales son funciones de proporcionalidad en las que las magnitudes que se relacionan son directamente proporcionales. 

Por ejemplo, en economía decimos que "el precio de una compra es directamente proporcional al número de unidades compradas de un cierto producto", por lo tanto la función que relaciona ambas magnitudes es una función de proporcionalidad. 

Veamos este otro ejemplo: "El precio de la factura de la luz depende de una cantidad fija (alquiler del contador...) más una cantidad variable que es proporcional al consumo efectuado". En este caso, la relación entre el consumo efectuado y el coste de la factura viene dado por una función afín (también considerada como el caso general de función lineal)

En economía hay dos funciones que tienen especial trascendencia, como son la función de la oferta y la función de la demanda, que se consideran lineales y son las dos funciones que determinan el equilibrio de mercado.

También se aplica al cálculo de costos y precios de productos, consumo de productos...

En física se estudia el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en el cual, la posición de un móvil en función del tiempo viene dada mediante funciones lineales.

En la ciencia en general se utilizan con mucha frecuencia, por ejemplo, para hallar tasas de variación (por ejemplo, en el cálculo de velocidades o en el estudio de reacciones químicas). 

También se usan para efectuar cambios de unidades de medida (por ejemplo, pasar de kilómetros a millas, o de grados centígrados a grados Fahrenhein) y para realizar predicciones siempre que la relación entre las variables sea aproximadamente lineal.

2.  LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

Son las funciones polinómicas de segundo grado.

Se usan con mucha frecuencia en la ciencia, los negocios y la ingeniería. 

En el ámbito científico, la parábola puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente o el botar de una pelota, y otras muchas situaciones físicas en las que interviene la gravedad.

En física, permite estudiar con precisión el tiro parabólico (por ejemplo, la trayectoria de un proyectil, la trayectoria de un balón lanzado a canasta...) y los movimientos uniformemente acelerados (MUA)

En economía, las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, y determinar los valores máximos y mínimos puesto que en muchas ocasiones la función "ingresos" sigue un modelo cuadrático.

En ingeniería civil, se usan las funciones cuadráticas en la construcción de muchos edificios, puentes...

3.  LAS FUNCIONES RACIONALES

Son aquellas funciones cuya expresión analítica viene dada por un cociente de polinomios.

Las más sencillas son las funciones de proporcionalidad inversa, que relacionan dos variables que son inversamente proporcionales.

La función de proporcionalidad inversa aparece en numerosos fenómenos físicos y sociales. Algunos casos comunes ilustrativos de la aplicación de este tipo de funciones serían:

• La relación entre el caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito de una capacidad determinada.

• La relación entre el número de pacientes que asiste a una consulta médica de horario limitado y el tiempo que puede dedicar el médico a cada paciente.

• La relación entre la intensidad de corriente y la resistencia eléctrica en una porción de circuito sometida a una diferencia de potencial constante, conocida como ley de Ohm: V = I x R . La intensidad y la resistencia son magnitudes inversamente proporcionales.

• La relación entre la presión y el volumen en un gas ideal sometido a una temperatura constante k, que sigue el principio conocido como ley de Boyle-Mariotte: P x V = k.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados obtenidos en otras funciones más complejas ya que son simples de calcular pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

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Espero que, después de mostrarte las numerosas aplicaciones de estos tipos de funciones, las estudies con más interés. 

Pero ahí no acaba todo, si quieres conocer aplicaciones de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas a la vida real solo tienes que pulsar en el siguiente enlace:

Las funciones en la vida cotidiana (2ª parte)

La regla de Ruffini

Como habrás podido comprobar en más de una ocasión, la forma tradicional de dividir dos polinomios es bastante engorrosa.

Sin embargo, el matemático y médico italiano Paolo Ruffini (1755-1822) encontró una forma muy sencilla de obtener los coeficientes del cociente y del resto de la división de un polinomio cualquiera entre un binomio que tenga la forma x-a.

Lo que hizo fue, simplemente, observar con detalle cómo se realizaba el algoritmo de la división de un polinomio P(x) entre x-a, y eliminar lo que no era necesario para obtener el cociente y el resto. Básicamente, dejó de escribir todas las x.

Fíjate en el siguiente ejemplo:

Si comparas con cuidado ambas divisiones comprobarás que toda la información relevante de la primera división está en las columnas de la división realizada usando el método de Ruffini. Todo lo demás es innecesario. 

En el siguiente enlace podrás apreciar con detalle cómo se efectúa cada una de las divisiones y la relación entre ambos procedimientos:

Ejemplo realizado paso a paso

• Ahora vamos a recordar cómo se realizan los cálculos en la regla de Ruffini:

Recuerda los pasos que debes seguir para aplicar la regla de Ruffini:

• Ordenamos el dividendo de mayor a menor grado y escribimos sus coeficientes en línea, completando con 0 cuando falte algún término (recuerda que si un término no aparece es porque está multiplicado por 0, luego su coeficiente es 0)

• Escribimos el término a del binomio x-a en el lugar destinado al divisor (segunda fila, a la izquierda)

• Bajamos el coeficiente del término de mayor grado del dividendo.

• Multiplicamos dicho coeficiente por a y colocamos el resultado debajo del segundo coeficiente del dividendo.

• Sumamos estos números y colocamos el resultado debajo.

• Repetimos este proceso hasta acabar con todos los coeficientes del dividendo.

• Separamos el elemento que está situado a la derecha de la fila de las sumas (la última) que será el RESTO de la división.

• Volvemos a colocar las x en los términos correspondientes al COCIENTE.

Veamos ahora otro ejemplo. En este caso, el divisor es x+1 por lo que a = -1:

Como puedes comprobar, la regla de Ruffini no es más que una forma rápida y sencilla de efectuar divisiones en las que el divisor tenga la forma x-a. 

También se puede emplear cuando el divisor tenga otras formas (ax+b, por ejemplo) pero no es muy habitual hacerlo.

• Por último, te indicaré algunas situaciones en las que será muy útil emplear la regla de Ruffini:

Sabes que una división que tiene resto 0 se denomina exacta. Pues bien, las divisiones exactas entre polinomios nos permiten hallar raíces enteras de un polinomio (es decir, números enteros que sustituidos en el lugar de la indeterminada del polinomio dan valor numérico 0) y, también, factorizar polinomios.

Veamos un ejemplo:

Estos procedimientos serán muy necesarios, por ejemplo, para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de varios polinomios, para sumar o restar fracciones algebraicas e, incluso, para resolver ecuaciones de grado mayor o igual a 2, pero eso ya lo veremos en otra entrada posterior...

Si estás interesado en repasar el cociente de polinomios, la regla de Ruffini y las técnicas para factorizar polinomios, puedes hacerlo con el material interactivo que encontrarás en los siguientes enlaces. Se trata de un material elaborado por la Junta de Extremadura (Proyecto ATENEX) y es muy interesante. Te lo recomiendo:

COCIENTE DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Errores en las aproximaciones

Es muy frecuente que, al trabajar con números, tengamos que utilizar valores aproximados. A veces, lo hacemos porque nos resulta más cómodo pero, en otras ocasiones, nos vemos obligados a usarlos porque no conocemos el valor exacto y nos resulta muy difícil o imposible obtenerlo.

Por otro lado, cuando realizamos mediciones obtenemos valores generalmente aproximados.

En cualquier caso, es fundamental controlar el error que cometemos en dicha aproximación para decidir si el valor aproximado es suficientemente bueno o no.

• Vamos a comenzar estudiando el caso en el que conocemos tanto el valor real como el valor aproximado.

Es una situación muy frecuente. Se da, por ejemplo, siempre que decidimos redondear un número conocido, considerando solo algunas de sus cifras (las llamadas, cifras significativas). En este caso, es muy fácil conocer el error cometido en la aproximación.

Definimos el ERROR ABSOLUTO como la diferencia entre el valor real y el valor aproximado, considerada en valor absoluto:

Así, por ejemplo, si decidimos aproximar 2'624 por 2'6 hemos cometido un error absoluto de 0'24 unidades:

Pero, ¿hemos realizado una buena aproximación o no? Dicho de otro modo, ¿el error cometido es grande o pequeño?

El concepto de error absoluto no nos permite responder a estas cuestiones con claridad. 

Te pondré un ejemplo:

"Imagina que estás contando los 30 alumnos del grupo 3ºA y cometes un error de 3 alumnos. Tu compañera ha contado todos los alumnos del instituto, que son 600, y también ha cometido un error de 3 alumnos". ¿Qué medición crees que ha sido mejor? 

Observa que los dos habéis cometido el mismo error absoluto, 3 alumnos... Pero, claro, no es lo mismo cometer un error de 3 personas cuando contamos un grupo de 30 que cuando lo hacemos con un grupo de 600, ¿verdad?

Para valorar la calidad de una medición o de una aproximación, o para comparar varias mediciones introducimos el concepto de ERROR RELATIVO que se define como el cociente entre el error absoluto cometido y el valor exacto:

Es muy frecuente, expresar el error relativo en forma de porcentaje, multiplicando el valor obtenido por 100. De esta manera, es más fácil valorar si el error relativo es suficientemente pequeño como para considerar que hemos realizado una buena aproximación, o si el error es grande y debemos buscar una aproximación mejor tomando alguna cifra significativa más.

Así, en el ejemplo anterior, al cometer un error absoluto de 3 personas cuando pretendíamos contar los 30 alumnos de 3ºA cometimos un error relativo de 3/30 = 0'1, que representa un 10% de error relativo porcentual.

Sin embargo, cuando cometimos un error absoluto de 3 personas al contar los 600 alumnos de todo el instituto, cometimos un error relativo de 3/600 = 0'005, lo que representa un 0'5% de error relativo porcentual.

Deducimos que, en el primer caso cometimos un error relativo muy grande, mientras que en el segundo caso, el error relativo ha sido pequeñísimo.

Por lo tanto, si queremos comparar distintas aproximaciones o si queremos decidir si una aproximación es buena o mala, debemos trabajar siempre con errores relativos.

El error relativo es el que nos indica la calidad de la medida que hemos tomado o de la aproximación realizada.

Veamos otro ejemplo más: 

Estamos midiendo la longitud y la altura de una mesa de la que conocemos las medidas reales, que son las siguientes:

• Pero, ¿qué pasa si no conocemos el valor real (o valor exacto) del número o de la medición?

Esta situación también es muy habitual. Se da, por ejemplo, siempre que pretendemos trabajar con números irracionales. No podemos expresar el valor exacto de un número irracional porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Tendremos que conformarnos con tomar un valor aproximado.

En estos casos, no podemos calcular el error absoluto ni el relativo porque no conocemos el valor real. ¿Cómo podremos valorar si la aproximación considerada es buena o mala?

Para ello, introducimos los conceptos de COTA DEL ERROR ABSOLUTO y COTA DEL ERROR RELATIVO.

Partimos del siguiente ejemplo:

Tomamos 2'4 como valor aproximado de un número obtenido mediante redondeo. ¿Cuál es el máximo error absoluto que hemos podido cometer? 

Si hemos aplicado bien la técnica del redondeo, el número exacto debe estar comprendido entre 2'35 y "casi" 2'45, por lo que el máximo error se cometería cuando el número exacto fuera 2'35, en cuyo caso el error absoluto sería 0'05 unidades.

Por lo tanto, podemos asegurar que el error absoluto cometido en nuestra aproximación será menor o igual que 0'05 unidades. 

A ese valor (0'05) se le denomina cota del error absoluto.

Observa cómo hemos obtenido dicha cota:

La última cifra significativa considerada en la aproximación es el 4, que representa la cifra de las décimas.

La cota del error absoluto es la mitad de una unidad del orden de la última cifra significativa considerada. En nuestro ejemplo, la cota es la mitad de una décima, es decir:

Ea < 0'1/2 = 0'05

También podemos decir que la cota del error absoluto es 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.

En nuestro ejemplo, la primera cifra no utilizada en el redondeo es la de las centésimas, por lo que, según este criterio, la cota del error absoluto serían 5 centésimas.

La cota del error relativo se obtiene dividiendo la cota del error absoluto entre el valor conocido (que es el aproximado). 

En el ejemplo anterior, la cota del error relativo cometido sería 0'05/2'4 = 0'0208333..., que pasado a porcentaje, indica que el error relativo cometido al tomar el valor 2'4 como si fuera exacto es inferior al 2%.

Pongamos otro ejemplo:

Esta aproximación del número "pi", ¿es suficientemente buena? ¿Qué error cometemos cuando la utilizamos?

Como la última cifra significativa utilizada es 4, que corresponde con la cifra de las centésimas, la cota del error absoluto sería la mitad de una centésima:

Ea < 0'01/2 = 0'005

Y, por lo tanto:

Er < 0'005/3'14 = 0'00159...

Es decir, al tomar el valor de "pi" como 3'14 cometemos un error relativo inferior al 0'159%. 

Como puedes comprender, es un error pequeñísimo que nos permite utilizar dicha aproximación con toda tranquilidad, salvo que estemos realizando cálculos de una enorme precisión.

Resumiendo:

• Es muy frecuente trabajar con números aproximados, bien porque no conozcamos los valores exactos o porque resulte muy engorroso trabajar con muchas cifras significativas.

• Cuando trabajemos con números aproximados debemos controlar la precisión de dicha aproximación, y, para ello calcularemos el error relativo (si se conoce el valor real y el valor aproximado) o una cota del error relativo (cuando solo se conozca el valor aproximado)