Profes: Algunas recomendaciones para que nuestras clases sean más divertidas

Hoy en día, ser profesor no es fácil. Se necesitan grandes dosis de paciencia y esfuerzo para captar la atención y el interés de nuestros alumnos y, aún así, el resultado no siempre es positivo. 

Por eso, es muy importante hacer las clases lo más divertidas y amenas que sea posible porque de este modo conseguiremos mantener a nuestros alumnos motivados y activos.

Os indico algunas recomendaciones para que nuestro alumnado esté más motivado en clase, consiguiendo de este modo que nuestra experiencia educativa sea más satisfactoria:

1.  Debemos fomentar que el alumnado participe en clase.

Es importante que los alumnos y alumnas no sean meros receptores de nuestros conocimientos y se sientan partícipes de la clase, que puedan expresar sus ideas y preguntar sus dudas con normalidad pero siguiendo unas normas básicas en las intervenciones.

2.  Debemos mantener una actitud positiva.

Es importante disfrutar con el trabajo que estamos haciendo. Cuando le ponemos pasión a una tarea, esta pasión se transmite a los demás. Si queremos que nuestro alumnado tenga una buena actitud en clase y se divierta, nosotros debemos ser el espejo en el que se miren.

3.  Debemos crear una buena relación con nuestro alumnado.

La empatía es una herramienta fundamental para sacar el máximo rendimiento en nuestras clases y hacer que los alumnos y alumnas vean su trabajo como algo divertido.

La cercanía y el respeto son fundamentales para hacer que el ambiente en clase sea distendido. Pero sin confundir los roles, nosotros somos los profesores y ellos los alumnos y alumnas. 

Debemos mostrarnos cercanos a nuestro alumnado para que tenga confianza y se sienta seguro en su proceso de aprendizaje, pero sin pasarnos de simpáticos puesto que corremos el riesgo, en algún caso, de poder llegar a perder su respeto.

4.  Podemos realizar actividades en grupos de trabajo.

Mediante el trabajo en grupo los alumnos y alumnas aprenden a colaborar entre ellos, a ser más responsables y a admitir puntos de vista diferentes al suyo.

5.  Podemos aplicar técnicas de educación innovadoras.

En la actualidad se está avanzando mucho en el tema de la innovación en el aula. Está claro que la "clase magistral" en la que el profesorado expone un tema y el alumnado atiende y toma apuntes ha quedado obsoleta. Es necesario que el alumnado en clase esté activo y motivado, y eso se puede conseguir intercalando actividades innovadoras.

Hay muchas técnicas que se pueden aplicar como, por ejemplo, la clase invertida (flipped classroom) que propone que el alumno trabaje el tema en casa y podamos utilizar el tiempo de clase para practicar, debatir y resolver dudas.

También podemos conseguir esa motivación utilizando juegos (gamificación) como excusa para que aprendan.

Os dejo un enlace a la página web de Educación 3.0 donde podéis encontrar 20 herramientas de gamificación que el alumnado podrá utilizar de forma sencilla, divirtiéndose a la vez que están aprendiendo:

Herramientas de gamificación para el aula

6.  Podemos introducir alguna herramienta TIC en nuestras clases.

La tecnología forma parte de la vida de nuestro alumnado, y a muchos de ellos les encanta y les ayuda a ver el aprendizaje como un juego.

Actualmente hay muchísimas herramientas TIC que podemos utilizar en el aula y que luego nuestros alumnos y alumnas pueden seguir utilizando en casa. 

Os dejo un enlace a la página web de aulaPlaneta en la que podéis encontrar 25 herramientas para enseñar las matemáticas con las TICs:

Las TICs en las clases de matemáticas

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Recuerda que es fundamental que el alumnado esté motivado para que pueda aprender y para ello debemos propiciar que sea protagonista activo de su aprendizaje:

Vídeos para aprender: "Grandes temas de matemáticas"

Buscando en internet materiales que puedan complementar mis clases de matemáticas he encontrado algunos vídeos interesantes que quiero compartir con vosotros en los siguientes enlaces. 

Se trata de documentales de unos veinte o veinticinco minutos de duración que pueden resultar interesantes tanto para alumnos como para profesores.

GRANDES TEMAS DE MATEMÁTICAS

1:  El número PI

2:  Los números primos

3:  Los problemas abiertos

4:  Fibonacci

5:  El número E

6:  Teoría de los juegos 

7:  Curvas

8:  Probabilidades

9:  Lógica y paradojas

10:  Noción de límite

11:  Topología

12:  Combinatoria

13:  Infinito

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UNIVERSO MATEMÁTICO

Pitágoras, mucho más

Historias de PI

Las cifras, un viajero en el tiempo

Fermat, el margen más famoso de la historia

Gauss, de lo real a lo imaginario

Euler, una superestrella

Sobre hombros de gigantes: Newton y Leibnitz

Las matemáticas de la Revolución Francesa

Mujeres matemáticas

La búsqueda de un sueño, orden en el caos.

Educación en valores: Por la igualdad entre hombres y mujeres

Con frecuencia oímos hablar de la importancia de la educación en valores , pero...

¿Qué significa "educar en valores"?

Educar en valores significa extender el alcance de la educación de manera que no se limite a la enseñanza y el aprendizaje de materias y temarios o a la adquisición de habilidades o destrezas, planteándose metas relacionadas con el ámbito moral y el civismo, con el objetivo final de formar ciudadanos responsables.

A través de la educación en valores se intenta potenciar y afianzar una cultura y una forma de ser y comportarse basadas en el respeto a los demás, la inclusión y las ideas democráticas y solidarias.

Debe ser un instrumento que ayude a crear una sociedad mejor, compuesta por ciudadanos críticos y responsables, dispuestos a comprometerse por una sociedad más justa e igualitaria, que apueste por la promoción de la salud, el medio ambiente, el consumo racional y el desarrollo sostenible.

Como puedes comprobar, es un concepto amplio y complejo, que exige la implicación tanto de los docentes y de la comunidad educativa como, muy especialmente, de los padres y también de la sociedad en general.

La educación en valores debe tratarse de forma transversal, es decir, en todas las asignaturas y en cualquier momento en el que consideremos que puede ser trabajada. 

Y en clase de matemáticas también, ¿por qué no?

Uno de los valores que podemos trabajar es el de la igualdad entre hombres y mujeres. Y no solo en las fechas marcadas en el calendario para este fin, pero también en esas fechas, como venimos haciendo desde hace años en nuestro instituto.

A continuación, voy a mostraros algunas de las actividades que hemos realizado en este curso para trabajar la igualdad entre hombres y mujeres en general, y en el ámbito de la ciencia en particular:

11 de FEBRERO

DÍA INTERNACIONAL DE LA MUJER Y LA NIÑA EN LA CIENCIA

• Algunos de los profesores de matemáticas hemos aprovechado parte de la clase para ver algún video relativo al tema y, a continuación, comentarlo con los alumnos/as:

CIENCIA Y ESTALMAT SE ESCRIBEN CON A

DÍA INTERNACIONAL DE LA MUJER Y LA NIÑA EN LA CIENCIA

• Desde los distintos departamentos de ámbito científico (Matemáticas, Biología, Física y Química, Tecnología) hemos realizado actividades como:

  1.  Murales con objetos inventados por mujeres:

2.  Mujeres que han sido galardonadas con premios Nobel:

3.  Biografías de mujeres relevantes por su contribución a la ciencia 

(Algunos trabajos se expusieron en clase y otros se plasmaron en murales):

4.  También se llevaron a cabo charlas divulgativas sobre el tema.

A continuación, os dejo un enlace a una conferencia realizada en la Universidad de Alicante por la profesora Lorena Segura en la que nos muestra las principales aportaciones de las mujeres a las matemáticas:

LAS MATEMÁTICAS EN FEMENINO

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8 de MARZO

DÍA INTERNACIONAL DE LA MUJER

Además de aprovechar las clases para comentar el acontecimiento del día, en el centro se suele realizar alguna que involucre a toda la comunidad educativa, para sensibilizarnos todos sobre el tema.

Este curso se ha realizado un mural en la entrada del instituto, en el que aparecen los nombres de distintas profesiones en femenino, con la frase "Las mujeres podemos ser todo lo que nos propongamos" escrita en castellano, inglés y valenciano.

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Son solo algunos ejemplos de las actividades que se pueden realizar para trabajar la educación en valores en las aulas. 

Lo importante es que aprovechemos todos los momentos y circunstancias para EDUCAR. No nos quedemos solo con trasmitir conocimientos, tenemos que EDUCAR en el más amplio sentido de la palabra.

Concurso de Fotografía Matemática 2017-18

En el presente curso hemos realizado la segunda edición del concurso de Fotografía Matemática como parte de las actividades de las Jornadas Culturales de nuestro centro.

La participación de los alumnos ha sido menor que en la primera edición, pero los trabajos presentados han tenido bastante calidad.

A continuación, os muestro los trabajos en cada una de las dos categorías:

Categoría A 

Para alumnos de 1º, 2º y 3º de ESO

Categoría B

Para alumnos de 4º de ESO y Bachillerato

Por último, incluimos los trabajos premiados:

Categoría A

Categoría B

Desde el Departamento de Matemáticas queremos agradecer a estos alumnos su participación en el concurso.

¡¡Entre todos podemos hacer 

que las matemáticas sean más divertidas!!

Aplicaciones de la derivada en la vida real.

Como ya hemos visto en entradas anteriores, las matemáticas permiten crear modelos teóricos que sirven para explicar fenómenos de la vida real. 

Ya sabemos que la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente o, dicho de otro modo, la derivada de una función nos indica el ritmo con el que dicha función varía (crece, decrece o permanece constante) cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente.

Fíjate, no es lo mismo...

En los tres casos descendemos, pero no al mismo ritmo. En el primer caso, descendemos despacio; en el segundo, el descenso es más rápido pero en el tercero, ¡es una locura!

Mediante el estudio de funciones y, más concretamente, mediante el uso de la derivada podemos conocer:

• la variación del espacio en función del tiempo
• el crecimiento de una bacteria en función del tiempo
• el desgaste de un neumático en función del tiempo
• el beneficio de una empresa en función del tiempo... 

De ahí que el uso de la derivada resulte fundamental en muchas situaciones de la vida cotidiana. 

En matemáticas utilizamos derivadas para estudiar el comportamiento de las funciones, hallar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión...

También nos ayudamos de las derivadas para resolver problemas de optimización (conseguir el valor óptimo de una función sujeta o no a ciertas condiciones)

Si estás interesado en profundizar en estas aplicaciones puedes hacerlo en los siguientes enlaces:

Aplicaciones de las derivadas: Estudio de la gráfica de una función

Aplicaciones de las derivadas: Problemas de optimización

Pero las aplicaciones de las derivadas no se reducen al ámbito matemático. Vamos a concretar algunas de las aplicaciones del concepto de derivada a diversos campos de la vida real.

APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

• La derivada de la superficie o área es la longitud.

• La derivada del volumen es la superficie.

APLICACIONES A LA FÍSICA

CINEMÁTICA

• La velocidad instantánea es la derivada del espacio respecto del tiempo.

• La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto del tiempo. Por tanto, la aceleración instantánea es la segunda derivada del espacio respecto del tiempo.

DINÁMICA

• La derivada del momento lineal con el tiempo es la fuerza.

• La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía (potencial, cinética, trabajo...)

TERMODINÁMICA

• Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, entonces su volumen V depende de la presión P. La compresibilidad isotérmica está relacionada con la derivada del volumen respecto a la presión mediante la siguiente fórmula:

FÍSICA DE MATERIALES

• La derivada de la masa con respecto a la longitud/superficie/volumen es la densidad.

ELECTROSTÁTICA

• La derivada de la carga eléctrica con respecto al tiempo es la intensidad de corriente.

APLICACIONES A LA QUÍMICA

• Cuando se produce una reacción química, las concentraciones de los reactivos y productos van cambiando con el tiempo hasta que se produce el equilibrio químico, en el cual las concentraciones de todas las sustancias permanecen constantes. La velocidad de reacción química es la derivada de la concentración de un reactivo o producto en función del tiempo.

APLICACIONES A LA BIOLOGÍA

• Permite el estudio de evolución de poblaciones de bacterias, de otras especies animales, de plantas... Se han deducido expresiones para el "Número de individuos" (tamaño de la población) según el tipo de crecimiento que presentan, y para obtener dicho crecimiento se necesitan las derivadas:

• Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante, por lo que, usando el cálculo diferencial, se puede encontrar la expresión de la cantidad de material radiactivo en función del tiempo.

APLICACIONES A LA MEDICINA

• El concepto de derivada permite conocer la evolución de ciertas enfermedades puesto que podemos modelizar el número de bacterias, virus, células infectadas... y estudiar su ritmo de crecimiento/decrecimiento al utilizar fármacos, comprobando así su efectividad.

• Podemos estudiar la evolución de ciertas epidemias puesto que podemos modelizar el número de enfermos en función del tiempo transcurrido.

APLICACIONES A LA INGENIERÍA

• Los ingenieros químicos o ingenieros en procesos utilizan la derivada para representar fenómenos que ocurren en un proceso mediante el uso de ecuaciones diferenciales.

• Se utilizan en los sistemas de tratamiento de aguas residuales así como en la recogida y tratamiento de residuos.

• También son de gran utilidad en los estudios de contaminación y diagnóstico.

• En ingeniería industrial se utiliza mucho la derivada para reducir costes al fabricar un producto (optimización).

APLICACIONES A LA ARQUITECTURA

• En arquitectura, es frecuente trabajar con curvas complejas (paraboliodes, hiperboloides, superficies irregulares...) de las que necesitamos obtener información relevante (máximos, mínimos, zonas de concavidad y convexidad...)

• También se utiliza la derivada (y la integral) para calcular áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

• Para resolver problemas de optimización (reducir costes de los materiales)

• Resultan de gran utilidad en el diseño de vías y carreteras, más específicamente, en el estudio de su curvatura.

APLICACIONES A LA ECONOMÍA

• El uso de la derivada permite resolver múltiples problemas de optimización en el ámbito económico (conseguir que una empresa obtenga el máximo beneficio, los ingresos máximos, los costes mínimos...)

• También permite estudiar la evolución de determinados fenómenos de índole económica (índice de la bolsa, evolución de la economía, beneficios de una empresa...) en función del tiempo (crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos...), proporcionando información muy útil para el empresario a la hora de tomar decisiones.

• La derivada es una herramienta de gran utilidad en economía puesto que nos permite realizar cálculos marginales, es decir, hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual sea la cantidad económica que se esté estudiando (coste, ingreso, beneficio, producción...)

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Sin duda, hemos dejado por mencionar muchas otras aplicaciones de la derivada pero considero que, después de las que hemos indicado, te habrás hecho una idea de la gran importancia que tiene esta herramienta tanto en el ámbito científico como social.

Espero que todo esto te motive para afrontar el estudio de las derivadas con ilusión puesto que, como has podido comprobar, es muy probable que en el futuro tengas que utilizar con frecuencia esta herramienta.

La semejanza de figuras y sus aplicaciones

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza". 

Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término "semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en forma?...

En matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño".

Observa las figuras del ejemplo siguiente:

Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma o solo lo parecen?

Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Si dividimos la medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en la figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que se llama razón de semejanza.

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¿Cómo podemos dibujar figuras semejantes?

Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar una transformación geométrica llamada homotecia:

• Si la razón, k, es mayor que 0 se llama homotecia directa:

• Si la razón, k, es negativa se denomina homotecia inversa:

Observa que en las homotecias directas las figuras semejantes quedan al mismo lado y en la misma posición que las originales mientras que en las inversas quedan al lado contrario y giradas respecto de las originales.

Fíjate qué forma más sencilla de dibujar un arbolito (gris) cuyos lados miden el triple (k=3) que los lados del original (verde):

¡Pero recuerda que la superficie que ocupa el árbol grande es 9 veces la superficie del pequeño!

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La semejanza en la vida cotidiana

Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los que utilizamos el concepto de semejanza:

• Una fotografía de tamaño 10x15 cm y su ampliación a tamaño 40x60 cm. son semejantes y guardan la misma proporción tanto a lo ancho como a lo largo (k = 4)

• Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para lo que utiliza un mapa. La escala utilizada es de 1:300000, es decir, un centímetro en el mapa representa 300000 cm = 3 km en la realidad.

• La construcción de planos o maquetas a escala para edificios, aviones, barcos... requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

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Razón de las áreas y volúmenes en figuras semejantes

Ya sabemos que si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r, la razón entre las longitudes de segmentos de una de ellas y sus homólogos en la otra es r, pero ¿qué pasa con las áreas y con los volúmenes?

Observa los siguientes gráficos:

Fíjate que las fórmulas anteriores son "lógicas":

- Cuando hallamos áreas multiplicamos dos longitudes (base por altura, lado por lado...) por lo que, si ambas longitudes se multiplican por r,  el área quedará multiplicada por r y por r, es decir, por r al cuadrado.

- De igual modo, cuando hallamos volúmenes multiplicamos tres longitudes (lado al cubo, lado por lado por lado, área de la base por la altura...) por lo que, si las tres longitudes se multiplican por r, el volumen quedará multiplicado por r al cubo.

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Semejanza en triángulos

En geometría se ha estudiado de una manera especial la semejanza de triángulos puesto que son figuras muy sencillas que aparecen en la descomposición de cualquier figura poligonal.

Se han establecido tres criterios que permiten identificar triángulos semejantes sin necesidad de probar que todos los lados correspondientes son proporcionales y que todos los ángulos correspondientes también son iguales:

Y aún se puede simplificar más el estudio de la semejanza de triángulos si aplicamos el siguiente criterio:

"Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos entonces son triángulos semejantes"

Cuando esto ocurre decimos que los triángulos están en posición de Thales. Observa que, en este caso, podemos conseguir que los triángulos encajen perfectamente.

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos se basan en el conocido "Teorema de Thales", que, por cierto, aunque lleva su nombre, no lo enunció este famoso filósofo y matemático griego si no que lo hizo Euclides varios siglos después.

Parece cierto que Thales (que nació en el año 640 a.C.) fue capaz de medir la altura de una de las pirámides de Egipto comparando su sombra con la que arrojaba, en ese mismo instante, una vara vertical.

Posteriormente se consiguieron muy buenas aproximaciones de medidas de distancias a puntos inaccesibles utilizando semejanza de triángulos.

Con el tiempo, de la semejanza de triángulos surgieron los conceptos de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo que, como ya vimos en otra entrada, dieron lugar al inicio de la trigonometría:

Primeros pasos en trigonometría

Como hemos indicado anteriormente, una de las aplicaciones prácticas más conocidas de la semejanza de triángulos es el cálculo de distancias inaccesibles. 

A continuación, te muestro un ejemplo:

Ahora te propongo que resuelvas tú la siguiente actividad:

Con los datos del gráfico, ¿cuál será la altura de la fachada de esa casa?

Pista: Observa que si desde la cabeza de la chica trazamos una perpendicular a la fachada de la casa se forman dos triángulos semejantes...

Cuando hagas los cálculos verás que los datos del dibujo no guardan relación con la realidad y que la altura de la fachada de la casa es de 35'8 metros... Ya ves que se trataba de un edificio muy muy alto.

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Si quieres profundizar más en este tema y practicar con ejercicios sobre semejanza de triángulos te dejo el siguiente enlace:

Semejanza de figuras. Aplicaciones.