¿Números o letras?

Es muy frecuente pensar que en matemáticas trabajamos exclusivamente con números, sin embargo sabemos que no es cierto. Usamos números, letras y símbolos (para indicar operaciones o relaciones entre los elementos que intervienen). 

De hecho, utilizamos números cuando expresamos cantidades concretas, pero si nos referimos a cantidades abstractas, generales o, incluso, desconocidas usamos letras o símbolos (menos frecuentes en la actualidad).

Este paso de lo concreto (números) a lo abstracto (letras) supone uno de los procesos mentales más complejos para los alumnos. Y mucho más, cuando resulta que las letras que usamos tienen distintas interpretaciones según el contexto en el que se utilicen. 

Por eso, los alumnos comienzan trabajando con números concretos (Aritmética) y sólo deben dar el salto al número abstracto (Álgebra) cuando estén preparados para ello, es decir, cuando tengan suficiente capacidad de abstracción.

En este artículo pretendo mostrar las interpretaciones más frecuentes de las letras en matemáticas.

• Uso de letras para generalizar propiedades:  Si decimos que  2 + 3 = 3 + 2 podemos dar a entender que esa propiedad es cierta solo para esos números concretos, pero, si queremos afirmar que la propiedad se cumple para cualquier pareja de números a y b, debemos escribir a + b = b + a (propiedad conmutativa de la suma de números). En este caso, las letras designan números genéricos y permiten expresar relaciones generales entre los objetos que representan.

Desde muy temprana edad se enuncian a los alumnos las propiedades generales de las operaciones numéricas mediante el uso de letras pero la realidad es que, en muchos casos, no entienden nada porque no están preparados para ese nivel de abstracción. Se aprenden las expresiones pero muchos no las comprenden. 

En Secundaria, se amplia este uso a las identidades ("igualdades entre expresiones algebraicas que son ciertas para todos los valores de las letras que intervienen") entre las que destacan las famosas "identidades notables" 

• Uso de letras para expresar fórmulas: En otras ocasiones utilizamos letras para expresar relaciones de dependencia entre distintas magnitudes ("fórmulas"). Así, por ejemplo, en geometría son muy conocidas fórmulas como las siguientes:   

    

                 

También es muy habitual el uso de fórmulas en física y en otras materias como biología, economía...

• Uso de letras como variables indeterminadas:  En Álgebra trabajamos con números y letras relacionados mediante operaciones matemáticas. Son las expresiones algebraicas, entre las que destacan los polinomios.

Así, en la expresión: $$P(x)={ x }^{ 2 }-3\cdot x+5$$  la letra x representa una variable o indeterminada que puede tomar cualquier valor. 

A veces nos interesará conocer el valor que toma dicho polinomio para valores concretos de la variable x ("valor numérico de un polinomio") para lo que sustituiremos la variable x por dicho valor concreto y operaremos. 

En el ejemplo anterior, si queremos conocer el valor de P(x) cuando  x=4 haremos P(4) = 16 - 12 + 5 = 9  y diremos que  P(4)=9, es decir, el polinomio toma el valor 9 cuando x vale 4.

• Uso de letras como incógnitas:  Es el uso habitual en las ecuaciones, sistemas de ecuaciones o inecuaciones.

Recuerda que las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que no se cumplen para todos los valores de las variables. Dichas variables se llaman incógnitas porque su valor es desconocido hasta que se resuelve la ecuación.

Cuando resuelves la ecuación: $$3x-5=x+7$$ lo que pretendes es hallar el valor o los valores de la variable (incógnita) para los cuales se cumple la igualdad dada.

Si decimos que la solución de dicha ecuación es "x=6" estamos afirmando que al sustituir x por el valor 6 en ambos miembros de la ecuación obtenemos el mismo resultado, en este caso 13. 

Es importante observar que la incógnita representa un objeto desconocido que se manipula como si fuera conocido. Es decir, operamos con las letras tal y como operamos con los números, puesto que las letras representan números (generales, indeterminados, desconocidos... pero, al fin y al cabo, "números")

• Uso de letras como variables para expresar cantidades que varían conjuntamente:  Es la interpretación que tienen las variables en las funciones.

Recuerda que una función es una relación entre dos o más variables entre las cuales hay una que depende de la otra (o de las otras, en funciones de mayor complejidad). De ahí surgen los conceptos de variable dependiente y variable independiente que ya tratamos en una entrada anterior dedicada al concepto de función. 

Por ejemplo, la función: $$s(t)=10+6\cdot t-{ t }^{ 2 }$$ expresa que la posición de un móvil, s, está relacionada con el tiempo, t, que lleva en movimiento mediante la igualdad anterior.

En este caso, la variable independiente es el tiempo, t, que toma valores libremente dentro de un cierto intervalo. La variable dependiente es la posición del móvil, s, cuyos valores no son libres puesto que dependen de los valores que haya tomado la variable t.

De este modo, la posición de un móvil al cabo de 5 segundos de iniciar el movimiento se obtiene sustituyendo la variable t por 5 en la ecuación. En este caso, obtenemos s = 10 + 30 - 25 = 15,  que nos indica que cuando el móvil lleva 5 segundos en movimiento se encuentra a 15 metros del observador.

• Uso de letras como constantes:   En ocasiones se emplean letras para representar algunos valores constantes especialmente importantes. Así, por ejemplo, en física usamos la letra g para identificar el valor de la gravedad, g = 9,8 m/s2.

• Uso de letras como parámetros:   Vamos a intentar comprender el concepto de parámetro mediante algunos ejemplos.

- En la siguiente expresión: $$y=m\cdot x$$ aparecen tres letras con significados diferentes. Se trata de la fórmula general de una función lineal, o mejor dicho, de todas las funciones lineales.

Sabemos que es así porque las variables x e y están relacionadas mediante una expresión polinómica de primer grado y, además, no tiene término independiente. También sabemos que, geométricamente, se trata de rectas que pasan por el origen de coordenadas.

¿Qué interpretación tiene la letra m en dicha fórmula? Sabemos que representa la pendiente de la recta, por lo que para cada valor de m obtenemos una de las infinitas rectas que pasan por el origen de coordenadas. Por lo tanto, la expresión y=mx representa el conjunto de todas las funciones lineales o, geométricamente, la familia de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas.

Si queremos obtener una de ellas en concreto, debemos dar un valor a m. Por ejemplo, si m=1 obtenemos la ecuación y=x que representa la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente 1 (bisectriz del primer y tercer cuadrante)

             

- Sabemos que la función cuadrática, y, por tanto, la ecuación de una parábola tiene la expresión $$y=a\cdot { x }^{ 2 }+b\cdot x+c$$ Las letras a, b y c se consideran parámetros porque para cada valor concreto de cada una de ellas se obtiene una de las infinitas parábolas que existe.

Por lo tanto, los parámetros son letras que sirven para identificar a cada uno de los infinitos elementos de una familia que tienen en común alguna característica. 

Tal vez no sea una definición muy rigurosa pero puede servir para que comprendas su significado.

----------

En resumen, según el contexto en el que estamos trabajando, las letras tienen distinto significado:

• En aritmética, representan números genéricos y se usan para expresar propiedades generales o identidades.

• En ciertas fórmulas, representan magnitudes generales.

• En las expresiones algebraicas (como polinomios, fracciones algebraicas...) representan variables indeterminadas.

• En las ecuaciones, sistemas de ecuaciones o inecuaciones representan incógnitas.

• En las funciones representan variables que están relacionadas.

• En otras ocasiones, actúan  como constantes.

• También pueden actuar como parámetros.

Por lo tanto, ¡debemos pararnos a pesar en qué contexto nos encontramos para poder interpretar correctamente el significado de una letra en matemáticas!