Por lo tanto, si queremos saber el comportamiento de una función y=f(x) cuando la variable independiente toma un valor concreto x=a no tenemos más que hallar su imagen en dicha función, es decir, obtener f(a).
Por otro lado, si lo que pretendemos estudiar es el comportamiento de una función en las proximidades de un valor x=a, debemos utilizar el concepto de límite de la función f(x) cuando x tiende al valor "a". De esta manera sabremos el comportamiento de la función cuando la variable x toma valores tan próximos al valor "a" como queremos.
Sin embargo, con frecuencia nos interesará conocer si, ante pequeños cambios en la variable independiente, la función crece o decrece, y en qué medida lo hace, es decir, si crece o decrece muy rápido o si lo hace lentamente.
Para resolver cuestiones de este tipo, utilizaremos el concepto de derivada de una función.
Históricamente, el concepto de derivada surgió al intentar dar respuesta a una serie de problemas geométricos y físicos que preocupaban a los estudiosos desde hacía muchos siglos. Principalmente, fueron:
- El problema de la tangente a una curva.
- El teorema de los extremos: máximos y mínimos.
Aunque, también se apuntan otros problemas como:
- El problema de la aceleración.
- El problema del cálculo de áreas.
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Para estudiar la variación de una función en un intervalo [a,b] podemos hacerlo a través de la tasa de variación o incremento de la función, que se define como:
Con este concepto podemos decidir si la función crece o decrece pero no en qué medida lo hace, es decir, no podemos concretar si la forma en la que crece o decrece es lenta o rápida. Para ello, tenemos que comparar el incremento de la función con el incremento o variación de x. Surge, entonces, el concepto de tasa de variación media:
En este ejemplo se observa que la función en el intervalo [2, 4] se incrementa en 3 unidades (5 - 2 = 3) por lo que deducimos que en dicho intervalo la función crece.
Pero, ¿con qué ritmo crece?. Observamos que la variable y crece 3 unidades cuando la variable x aumenta en 2 (4 - 2 = 2), por lo tanto, su ritmo de crecimiento es de 1,5. Es decir, por cada unidad que aumenta x, la función aumenta en 1,5.
Veamos ahora la interpretación geométrica de la T.V.M.
Observa que, geométricamente, la TVM coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Pero, ¿cómo podemos estudiar el ritmo de variación de la función en un punto concreto x = a?
La idea es sencilla, estudiemos el ritmo de variación de la función en intervalos de la forma [a, a+h] que sean muy muy pequeños, tan pequeños como queramos.
¿Y cómo podemos hacer que dichos intervalos [a, a+h] sea pequeñísimos?
Utilizando el concepto de límite. Hagamos que h (que es el incremento de x) tienda a 0.
De esta idea surge el concepto de tasa de variación instantánea:
En el siguiente gráfico puedes observar cómo la T.V.I. coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = a.
Definimos la derivada de una función f(x) en un punto x=a como la tasa de variación instantánea de la función en dicho punto:
El valor de dicha derivada en el punto nos indica dos cosas:
- Por un lado, el signo de la derivada nos dice si la función crece o decrece en x=a.
- Por otro lado, el valor absoluto de la derivada nos informa sobre el ritmo de variación puesto que coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.
Observa que, en ambos ejemplos, las funciones crecen en los puntos respectivos porque sus derivadas son positivas, (f '(1) es 3 en el primer caso, y f '(2) es 4 en el segundo), pero la segunda función crece más rápido que la primera porque su derivada, en valor absoluto, es mayor.
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Introducido el concepto de derivada de una función en un punto, tiene sentido definir una nueva función que asocie a cada valor de la variable de x el valor de su derivada en ese punto. La función así definida se llama función derivada de f(x) o, simplemente, derivada de f(x) : f '(x)
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Aplicando esta definición se fueron deduciendo fórmulas para hallar la derivada de muchos tipos de funciones (reglas de derivación), y se fueron encontrando múltiples aplicaciones de la derivada.
Os dejo un par de enlaces por si queréis profundizar en estos temas:
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