Recorrido histórico por el cálculo integral.

Cuando se estudia el tema de integrales en el currículo de bachillerato se suele comenzar por la parte dedicada al Cálculo de primitivas (integral indefinida) para acabar con la integral definida y sus aplicaciones.

De este modo, el alumno puede pensar que históricamente el desarrollo del cálculo integral se produjo en ese orden, y no es así. En este artículo vamos a hacer un breve recorrido por la historia de esta parte tan importante de las matemáticas.

ORIGEN DEL CÁLCULO INTEGRAL

Algunos autores sitúan su origen en la época del antiguo Egipto (1800 años a.C.), con el papiro de Moscú, en el que se demuestra que ya conocían una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal.

Sin embargo, la mayoría de los autores sitúan el origen del Cálculo Integral en una época posterior, hace más de 2300 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del área ideando el procedimiento que llamaron "método de exhaución".

La idea esencial del "método de exhaución" consiste en intentar determinar el área de una región por medio de aproximaciones, utilizando regiones poligonales cuya área sea más fácil de calcular. Se continuaba con el proceso aumentando los lados de los polígonos hasta conseguir la mejor aproximación posible de la región que querían determinar. 

Este método fue usado satisfactoriamente por Eudoxo de Cnido (405-355 a.C.) y por Arquímedes (287-212 a.C.). Este último consiguió hallar fórmulas exactas de las áreas del círculo y de algunas otras figuras especiales. En la siguiente figura podemos ver el método de exhaución aplicado para determinar el área del círculo:

Calculó el volumen y la superficie de una esfera y de un cono, así como la superficie de una elipse y de una parábola.

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Hasta el siglo XVII se utilizaron métodos similares a los empleados por los antiguos griegos.

Sabemos que el área es una medida de la extensión de una superficie. Determinar esta medida para superficies con líneas rectas suele ser bastante fácil. Por ejemplo, para un rectángulo su área se define como el producto de la longitud y el ancho. O para un triángulo, como la mitad de la base por la altura. El área de cualquier otro polígono se encuentra al dividirlo en triángulos y luego sumar las áreas de cada uno ellos. 

Pero para los casos de las regiones con líneas curvas, el cálculo del área ya es tan fácil. Para estos casos debemos recurrir a un método similar al de exhaución que mencionábamos anteriormente. Vamos dividiendo la región en varios rectángulos y luego calculamos el área como la suma de las áreas de cada uno de estos rectángulos. 

Como vemos en la figura que aparece a continuación, a medida que agregamos más rectángulos, nos vamos aproximando cada vez más al valor real del área de la superficie curva, hasta el punto de que, si fuéramos capaces de dividir la región en muchísimos ("infinitos") rectángulos muy estrechos podríamos alcanzar el resultado exacto del área de nuestra superficie curva. 

La idea es buena pero, en la práctica, resulta muy pesado hacer esos cálculos puesto que habría que sumar las áreas de muchísimos ("infinitos") rectángulos y, además, tendríamos que encontrar métodos de cálculo para obtener las alturas adecuadas de los rectángulos inscritos o circunscritos a la superficie. ¡Muy laborioso!

Sin embargo, en esa época y gracias a las aportaciones de Isaac Barrow (1660-1677), James Gregory (1638-1675), Isaac Newton (1642-1726) y Gottfried Leibniz (1646-1716), fundamentalmente, se produjo la conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial (que surgió a partir del problema de la tangente) y el cálculo integral (que surgió a partir del problema del área), sin aparente relación con el anterior. 

Se demostró el Teorema Fundamental del Cálculo, que viene a decir que la derivación y la integración de una función son "operaciones inversas". 

¡El resultado es realmente sorprendente! 

¿Cómo es posible que dos conceptos que surgieron para resolver problemas que aparentemente no tenían nada que ver pueden estar tan íntimamente relacionados? Sin duda, es uno de los resultados más importantes de la historia de las matemáticas.

A partir de él, se demostró el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, también conocido como Regla de Barrow, que reduce el cálculo de una integral definida (área) a la obtención de una primitiva de la función integrando ("antiderivada"). 

Como derivar e integrar eran procesos mecánicos cuyo estudio estaba ya muy avanzado, se podía hallar áreas de recintos curvos de una manera mucho más sencilla. 

FORMALIZACIÓN DEL PROCESO

Sin embargo, la formalización de todo este proceso fue posterior, puesto que se necesitaba el concepto de límite de funciones que no surgió hasta el siglo XIX, con Bolzano, Cauchy y Weierstrass, entre otros.

A partir de ahí, Riemann (1826-1866) formalizó el concepto de integral definida como el límite de la suma de las áreas de infinitos rectángulos increíblemente estrechos. Así podemos determinar el resultado exacto del área de nuestra superficie curva. Este proceso lo podemos ver más claramente en la siguiente figura.

Riemann definió la integral del siguiente modo:

Posteriormente, Lebesgue dio una definición diferente de la integral​ basada en la teoría de la medida que generalizaba la definición de Riemann.

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Por cierto, el símbolo de la integral tal y como lo conocemos actualmente se lo debemos a Leibniz y proviene de la inicial de la palabra "Suma", es una S alargada.

Para finalizar, dejo unos enlaces por si te interesa conocer algunas técnicas básicas de cálculo de primitivas de una función y el concepto de integral definida y su aplicación al cálculo de áreas. Espero que te sean de utilidad.

Cálculo de primitivas de una función. Integral indefinida.

Integral definida. Cálculo de áreas.