Propiedades de las potencias.

Es relativamente frecuente encontrar alumnos que operan mal con potencias, incluso los encontramos en cursos de nivel superior como bachillerato e, incluso, en nivel universitario.

Muchos de ellos se preguntan por qué están mal las siguientes igualdades, si todas ellas parecen muy "lógicas" (...según su propia "lógica", claro...) :

(1)                (2)                (3)  

    

Otros se cuestionan por qué no se pueden realizar así las siguientes operaciones:

(4)                       (5)

El problema suele estar en que, en su momento,  nos aprendemos de memoria las propiedades de las operaciones con potencias y luego las intentamos aplicar "como las recordamos", que suele ser "mal" y de ahí provienen la mayoría de los errores. 

Vamos a intentar responder a las cuestiones iniciales ayudados del concepto de potencia. 

Las potencias de exponente natural surgen de la necesidad de expresar de una manera sencilla el producto de un número multiplicado por sí mismo unas cuantas veces. Para ello, definimos:

De este modo:  

Podemos concluir diciendo que una potencia de exponente natural no es más que una forma abreviada de escribir el producto de varios factores iguales.

Si tenemos en cuenta esta interpretación, es fácil comprender cuál es la forma correcta de realizar las operaciones con potencias que nos planteábamos al inicio del artículo:

(1) y (2)           

 (3)        

Realicemos ahora de forma correcta las otras operaciones. 

(4)     

  

mientras que el segundo miembro de dicha igualdad es: 

       

Como puedes observar, los resultados son diferentes.

Y por último, recuerda que no hay propiedades que permitan sumar potencias aunque tengan la misma base o el mismo exponente. Por ello, tenemos que operar del siguiente modo:

 (5)   

mientras que el segundo miembro de dicha igualdad es:

Nuevamente, puedes comprobar que los resultados son diferentes.

Una observación: Para que las propiedades de las operaciones con potencias tengan sentido hemos de admitir un convenio:  

puesto que no tiene sentido "multiplicar un factor por él mismo cero veces", ¿verdad?

No estoy en contra de aprenderse las propiedades de las operaciones con potencias de memoria. Lo importante es que, si tenemos alguna duda a la hora de utilizarlas, desarrollemos las potencias y las deduzcamos.

Es preferible ir despacio y utilizar bien las propiedades, que emplearlas mal y equivocarnos en los cálculos.

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Ahora ya podemos definir "potencia de exponente negativo" del siguiente modo:

Así, por ejemplo:  

Y, por último, definimos "potencia de exponente fraccionario" del siguiente modo:

Por lo que:

Y no olvides que las propiedades de las operaciones con cualquier tipo de potencias (de exponente natural, de exponente negativo o de exponente fraccionario) son las mismas:

Operar correctamente con potencias te resultará muy útil puesto que te permitirá realizar algunos cálculos más o menos complejos que tendrás que resolver con cierta frecuencia. A continuación te muestro algunos ejemplos:

• Operaciones en notación científica:

• Operaciones con radicales:

Si operas correctamente con potencias, te resultará más sencillo operar con los temidos radicales porque un radical no es otra cosa que una potencia de exponente fraccionario. Fíjate en el ejemplo siguiente:

• Resolución de ecuaciones exponenciales:

Como has podido comprobar en estos ejemplos, resulta muy útil operar correctamente con potencias, y para ello no debes olvidar la interpretación que hemos hecho de una potencia como una forma abreviada de expresar el producto de varios factores iguales.

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Para practicar

A continuación te dejo varios enlaces en los que encontrarás actividades sobre potencias, clasificados por niveles de dificultad:

• Nivel básico 1   (Libros Vivos - SM)

• Nivel básico 2   (Anaya)

• Nivel medio   (Muy completo: teoría y ejercicios)

• Nivel avanzado   (Notación científica, radicales...)

"Profe, pero...¿qué es la ecuación de una recta?"

El estudio de la geometría analítica supone un cambio importante en la visión que tienen los alumnos de la geometría.

Las figuras (rectas, circunferencias, parábolas...) ya no son simples líneas, si no que vienen determinadas por unas ecuaciones que las caracterizan.

La idea de escribir este artículo surge de una experiencia real ocurrida cuando explicaba las ecuaciones de una recta a un grupo de alumnos de 4º ESO.

Después de una breve incursión en el mundo de los vectores, empezamos a estudiar las ecuaciones de la recta.

Los alumnos saben que una recta viene determinada por dos puntos, y, a partir de esta idea, introducimos el concepto de vector director de la recta como un vector que nos indica la dirección de la recta. 
Recordamos el concepto de pendiente de una recta que ya estudiaron en 3º al trabajar el tema dedicado a las funciones lineales.

Vemos que todos estos elementos están relacionados puesto que, a partir de dos puntos A y B, podemos formar el vector AB que nos da la dirección de la recta y, también, hallar la pendiente de dicha recta:

Les hablo entonces de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta, y el procedimiento para pasar de unas a otras. Y les insisto en que son expresiones aparentemente distintas de la misma recta.

Para finalizar, resolvemos un ejercicio que nos sirva de ejemplo. 

El ejercicio nos pide que hallemos las distintas ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(2,1) y B(4,5).

Calculamos con detalle el vector director AB = (4-2, 5-1) = (2, 4) y la pendiente, m = 4/2 = 2, hallamos la ecuación punto-pendiente   y = 1 + 2(x - 2)   y, a partir de ella, la ecuación explícita   y = 2x - 3   y la ecuación general   2x - y - 3 = 0. 

El ejercicio quedó perfecto, todo muy claro. Pero, cuando me disponía a borrar la pizarra para continuar con la explicación, una de mis alumnas levanta la mano y me pregunta: 

"Profe, pero... ¿qué significa que y = 2x - 3  sea la ecuación de la recta?"

En principio, la pregunta me sorprendió porque había explicado con detalle todos los pasos del ejercicio y parecía que todo había quedado claro. 

Es posible que los profesores nos centremos demasiado en enseñar a nuestros alumnos los procedimientos para obtener las distintas ecuaciones de la recta, y pasemos por alto lo más importante, explicar qué es realmente la ecuación de una recta. O, tal vez, sí que expliquemos el significado de la ecuación de la recta pero nuestros alumnos no lleguen a entenderlo.

Pero, ¿de qué sirve que sepan hallar la ecuación de una recta en todas las situaciones posibles si no comprenden lo que representa la ecuación que han obtenido?

Entonces, contesté a mi alumna del siguiente modo:

"La ecuación de una recta nos indica la relación que deben cumplir las coordenadas x e y de un punto P(x,y) para pertenecer a dicha recta".

Por lo tanto, que la ecuación de la recta del ejemplo sea y = 2x - 3 significa que los puntos situados en dicha recta se caracterizan por tener una ordenada (y) que es igual al producto de su abscisa (x) por 2, menos 3 unidades. 

Entonces, ¿cómo podemos saber si el punto P(5,7) pertenece a la recta anterior?

Debemos comprobar si las coordenadas x=5 e y=7 verifican la ecuación de la recta, es decir, si al sustituir x por 5 (que es la abscisa del punto P) en la ecuación y = 2x - 3 obtenemos como resultado 7 (que es la ordenada de P).

A continuación, les propuse que comprobaran si el punto Q(1,0) pertenecía a la recta anterior. Rápidamente respondieron que no.

Ya podíamos continuar con la explicación porque los alumnos habían comprendido el significado de la ecuación de una recta.

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Además, ahora ya pueden entender el significado de la ecuación de cualquier curva, por ejemplo, la ecuación de una circunferencia o de una parábola.

                

¿Qué significa que la ecuación de una curva sea y=f(x) (en forma explícita) o f(x,y)=0 (en forma implícita)? Significa que para que un punto genérico P(x,y) pertenezca a dicha curva sus coordenadas x e y deben cumplir la relación dada por dicha ecuación.

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Y cuando trabajen en el espacio tridimensional, comprenderán el sentido que tiene la ecuación general de un plano o las ecuaciones implícitas de una recta, puesto que, nuevamente, indicarán las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un punto genérico del espacio P(x,y,z) para estar situado en dicho plano o en dicha recta.

Como puedes ver, la idea es siempre la misma. Por eso es tan importante que sepas responder con claridad a la pregunta que originó este artículo: "¿Qué es la ecuación de una recta?"

Resolviendo ecuaciones de primer grado.

Parece increíble que alumnos de cursos avanzados sean capaces de plantear ejercicios en los que intervienen contenidos relativamente complicados y se equivoquen a la hora de resolver la ecuación planteada, y resulta mucho más increíble cuando, a veces, se trata de una simple ecuación de primer grado.

Lo mismo ocurre cuando hablamos con profesores de otras materias (Física, Química, Tecnología...). Suelen quejarse amargamente de que sus alumnos no saben despejar una incógnita. 

Seguramente, en su momento el profesor de matemáticas se molestó en explicar a los alumnos, paso a paso, el procedimiento que deben seguir para resolver una ecuación de primer grado, pero éstos, al final,  se quedaron con el "truco" sin comprender el por qué, y claro, con el tiempo la memoria falla y donde decíamos "...se pasa restando..." ahora recordamos "...se pasa multiplicando o dividiendo o qué se yo...". 
Como dicen algunos alumnos: "Total, ¡qué más da!, el caso es despejar la x, ¿no?... "

Es cierto, el objetivo es despejar la incógnita en un miembro de la igualdad, pero no de cualquier manera.

La idea fundamental es que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, y que, por tanto, las transformaciones que realicemos para despejar la incógnita deben mantener dicha igualdad.

Esta idea se puede comprender bien si interpretamos la ecuación con una balanza que está en equilibrio.

¿Qué ocurre con una balanza en equilibrio si añadimos el mismo peso en ambos platos? ¿Seguirá en equilibrio?

¿Y si quitamos de ambos platos el mismo peso?

¿Y si duplicamos o triplicamos el peso de cada plato?

¿Y si reducimos a la mitad el peso de ambos platos?

La respuesta a todas estas cuestiones es que la balanza sigue equilibrada puesto que hemos realizado las mismas transformaciones en ambos platos a la vez.

Trasladando estas reflexiones a las ecuaciones surgen las transformaciones que realizamos para resolver una ecuación de primer grado:

- Regla de la suma: Podemos sumar (o restar) a ambos miembros de una igualdad el mismo número y la igualdad sigue siendo cierta.

- Regla del producto: Podemos multiplicar (o dividir) ambos miembros de una igualdad por el mismo número (distinto de 0) y la igualdad sigue siendo cierta.

A continuación, os muestro un ejemplo de cómo se puede resolver una ecuación sencilla de primer grado, paso a paso, y su equivalencia en la balanza:

También os dejo el enlace con un vídeo que he encontrado en el que se muestra de una manera muy ilustrativa cómo se resuelven ecuaciones de primer grado mediante el método de la balanza. Por cierto, quiero agradecer a sus creadores el trabajo realizado. Espero que os guste.

Vídeo con ejemplos ilustrativos

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Confío en que, a partir de ahora, cuando dudes en si debes pasar un número al otro miembro sumando o restando, multiplicando o dividiendo... te acuerdes de la balanza y comprendas por qué el profesor te dice que "lo que está restando pasa al otro miembro sumando", o "lo que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo...". 

Son frases poco adecuadas porque dan la impresión de que los números saltan de un miembro a otro de la igualdad de forma caprichosa y, como acabamos de ver, no es cierto.

Estas frases solo pretenden que mecanices de una forma rápida las transformaciones que hemos visto en los ejemplos anteriores, pero muchas veces, por querer ir más rápido, haces las cosas mal ya que no entiendes lo que realmente estás haciendo.

Ante cualquier duda, piensa siempre que tienes que realizar la misma transformación en cada miembro de la igualdad para mantener el equilibrio de la balanza.

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Por último, te dejo un enlace con la página web de VITUTOR en la que encontrarás una colección de ejercicios para que practiques la resolución de ecuaciones de primer grado con la ventaja de que cuenta con la resolución completa de cada una de ellas. Espero que te sea útil.

Ejercicios para practicar

  

¿Números o letras?

Es muy frecuente pensar que en matemáticas trabajamos exclusivamente con números, sin embargo sabemos que no es cierto. Usamos números, letras y símbolos (para indicar operaciones o relaciones entre los elementos que intervienen). 

De hecho, utilizamos números cuando expresamos cantidades concretas, pero si nos referimos a cantidades abstractas, generales o, incluso, desconocidas usamos letras o símbolos (menos frecuentes en la actualidad).

Este paso de lo concreto (números) a lo abstracto (letras) supone uno de los procesos mentales más complejos para los alumnos. Y mucho más, cuando resulta que las letras que usamos tienen distintas interpretaciones según el contexto en el que se utilicen. 

Por eso, los alumnos comienzan trabajando con números concretos (Aritmética) y sólo deben dar el salto al número abstracto (Álgebra) cuando estén preparados para ello, es decir, cuando tengan suficiente capacidad de abstracción.

En este artículo pretendo mostrar las interpretaciones más frecuentes de las letras en matemáticas.

• Uso de letras para generalizar propiedades:  Si decimos que  2 + 3 = 3 + 2 podemos dar a entender que esa propiedad es cierta solo para esos números concretos, pero, si queremos afirmar que la propiedad se cumple para cualquier pareja de números a y b, debemos escribir a + b = b + a (propiedad conmutativa de la suma de números). En este caso, las letras designan números genéricos y permiten expresar relaciones generales entre los objetos que representan.

Desde muy temprana edad se enuncian a los alumnos las propiedades generales de las operaciones numéricas mediante el uso de letras pero la realidad es que, en muchos casos, no entienden nada porque no están preparados para ese nivel de abstracción. Se aprenden las expresiones pero muchos no las comprenden. 

En Secundaria, se amplia este uso a las identidades ("igualdades entre expresiones algebraicas que son ciertas para todos los valores de las letras que intervienen") entre las que destacan las famosas "identidades notables" 

• Uso de letras para expresar fórmulas: En otras ocasiones utilizamos letras para expresar relaciones de dependencia entre distintas magnitudes ("fórmulas"). Así, por ejemplo, en geometría son muy conocidas fórmulas como las siguientes:   

    

                 

También es muy habitual el uso de fórmulas en física y en otras materias como biología, economía...

• Uso de letras como variables indeterminadas:  En Álgebra trabajamos con números y letras relacionados mediante operaciones matemáticas. Son las expresiones algebraicas, entre las que destacan los polinomios.

Así, en la expresión: $$P(x)={ x }^{ 2 }-3\cdot x+5$$  la letra x representa una variable o indeterminada que puede tomar cualquier valor. 

A veces nos interesará conocer el valor que toma dicho polinomio para valores concretos de la variable x ("valor numérico de un polinomio") para lo que sustituiremos la variable x por dicho valor concreto y operaremos. 

En el ejemplo anterior, si queremos conocer el valor de P(x) cuando  x=4 haremos P(4) = 16 - 12 + 5 = 9  y diremos que  P(4)=9, es decir, el polinomio toma el valor 9 cuando x vale 4.

• Uso de letras como incógnitas:  Es el uso habitual en las ecuaciones, sistemas de ecuaciones o inecuaciones.

Recuerda que las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que no se cumplen para todos los valores de las variables. Dichas variables se llaman incógnitas porque su valor es desconocido hasta que se resuelve la ecuación.

Cuando resuelves la ecuación: $$3x-5=x+7$$ lo que pretendes es hallar el valor o los valores de la variable (incógnita) para los cuales se cumple la igualdad dada.

Si decimos que la solución de dicha ecuación es "x=6" estamos afirmando que al sustituir x por el valor 6 en ambos miembros de la ecuación obtenemos el mismo resultado, en este caso 13. 

Es importante observar que la incógnita representa un objeto desconocido que se manipula como si fuera conocido. Es decir, operamos con las letras tal y como operamos con los números, puesto que las letras representan números (generales, indeterminados, desconocidos... pero, al fin y al cabo, "números")

• Uso de letras como variables para expresar cantidades que varían conjuntamente:  Es la interpretación que tienen las variables en las funciones.

Recuerda que una función es una relación entre dos o más variables entre las cuales hay una que depende de la otra (o de las otras, en funciones de mayor complejidad). De ahí surgen los conceptos de variable dependiente y variable independiente que ya tratamos en una entrada anterior dedicada al concepto de función. 

Por ejemplo, la función: $$s(t)=10+6\cdot t-{ t }^{ 2 }$$ expresa que la posición de un móvil, s, está relacionada con el tiempo, t, que lleva en movimiento mediante la igualdad anterior.

En este caso, la variable independiente es el tiempo, t, que toma valores libremente dentro de un cierto intervalo. La variable dependiente es la posición del móvil, s, cuyos valores no son libres puesto que dependen de los valores que haya tomado la variable t.

De este modo, la posición de un móvil al cabo de 5 segundos de iniciar el movimiento se obtiene sustituyendo la variable t por 5 en la ecuación. En este caso, obtenemos s = 10 + 30 - 25 = 15,  que nos indica que cuando el móvil lleva 5 segundos en movimiento se encuentra a 15 metros del observador.

• Uso de letras como constantes:   En ocasiones se emplean letras para representar algunos valores constantes especialmente importantes. Así, por ejemplo, en física usamos la letra g para identificar el valor de la gravedad, g = 9,8 m/s2.

• Uso de letras como parámetros:   Vamos a intentar comprender el concepto de parámetro mediante algunos ejemplos.

- En la siguiente expresión: $$y=m\cdot x$$ aparecen tres letras con significados diferentes. Se trata de la fórmula general de una función lineal, o mejor dicho, de todas las funciones lineales.

Sabemos que es así porque las variables x e y están relacionadas mediante una expresión polinómica de primer grado y, además, no tiene término independiente. También sabemos que, geométricamente, se trata de rectas que pasan por el origen de coordenadas.

¿Qué interpretación tiene la letra m en dicha fórmula? Sabemos que representa la pendiente de la recta, por lo que para cada valor de m obtenemos una de las infinitas rectas que pasan por el origen de coordenadas. Por lo tanto, la expresión y=mx representa el conjunto de todas las funciones lineales o, geométricamente, la familia de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas.

Si queremos obtener una de ellas en concreto, debemos dar un valor a m. Por ejemplo, si m=1 obtenemos la ecuación y=x que representa la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente 1 (bisectriz del primer y tercer cuadrante)

             

- Sabemos que la función cuadrática, y, por tanto, la ecuación de una parábola tiene la expresión $$y=a\cdot { x }^{ 2 }+b\cdot x+c$$ Las letras a, b y c se consideran parámetros porque para cada valor concreto de cada una de ellas se obtiene una de las infinitas parábolas que existe.

Por lo tanto, los parámetros son letras que sirven para identificar a cada uno de los infinitos elementos de una familia que tienen en común alguna característica. 

Tal vez no sea una definición muy rigurosa pero puede servir para que comprendas su significado.

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En resumen, según el contexto en el que estamos trabajando, las letras tienen distinto significado:

• En aritmética, representan números genéricos y se usan para expresar propiedades generales o identidades.

• En ciertas fórmulas, representan magnitudes generales.

• En las expresiones algebraicas (como polinomios, fracciones algebraicas...) representan variables indeterminadas.

• En las ecuaciones, sistemas de ecuaciones o inecuaciones representan incógnitas.

• En las funciones representan variables que están relacionadas.

• En otras ocasiones, actúan  como constantes.

• También pueden actuar como parámetros.

Por lo tanto, ¡debemos pararnos a pesar en qué contexto nos encontramos para poder interpretar correctamente el significado de una letra en matemáticas!

Olimpiadas Matemáticas

                                      

Quiero presentaros unas competiciones destinadas a aquellos alumnos que tiene un buen nivel de conocimientos matemáticos y capacidad para afrontar y resolver problemas de cierta complejidad.

Se trata de las Olimpiadas Matemáticas. 

En España las hay de distintos tipos:

• La Real Sociedad Matemática Española (RSME) organiza las Olimpiadas Matemáticas para alumnos de Bachillerato, en sus distintas fases.

• La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) junto con las Sociedades de cada Comunidad Autónoma convocan las Olimpiadas Matemáticas para alumnos del tercer ciclo de Primaria, del primer ciclo de Secundaria y del segundo ciclo de Secundaria. Suelen organizarse fases comarcales, provinciales, autonómicas y nacional.

• Olimpiada de Mayo, competición iberoamericana organizada por la Federación Iberoamericana de Competiciones Matemática.

Todos sabemos que uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza de las matemáticas es proporcionar al alumno herramientas y técnicas para resolver problemas, así como "acostumbrarle a pensar, a razonar y a tomar decisiones".

De hecho, la resolución de problemas es un objetivo transversal de las matemáticas. Es decir, es un objetivo que debemos trabajar en todos los temas de cada curso.

Aún así, para presentarse a unas Olimpiadas Matemáticas, el alumno debe seguir una preparación específica, basada en la resolución de muchos problemas del tipo de los que deberá resolver en la prueba  y, también, en el conocimiento de contenidos que no se trabajan en el temario habitual de la asignatura.

En muchos centros suele haber profesores del Departamento de Matemáticas que se dedican a preparar a los alumnos que quieren participar en estos concursos, y, además, en algunas universidades se organizan periódicamente sesiones de trabajo con estos alumnos.  

Si tienes inquietud por la resolución de problemas de matemáticas, si te motiva especialmente llegar a la solución de un problema... puedes informarte sobre estos concursos.

A continuación, os dejo el enlace con la página web de la Olimpiada Matemática Española (RSME), con la página web de la Sociedad de Profesores de Matemáticas de la Comunidad Valenciana "Al-khwarizmi" que organiza las Olimpiadas de Secundaria en esta Comunidad, así como enlaces con algunas páginas en las que encontraréis material adecuado para prepararos porque, como he dicho antes, necesitaréis un entrenamiento específico. No basta con el material que se imparte en las clases durante el curso. 

Página web de la Olimpiada Matemática Española:

http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm

Página web de la Sociedad Al-khwarizmi
http://www.semcv.org/olimpiadamat

Blog del profesor Roberto Selva, encargado de preparar a los alumnos en nuestro instituto:

http://problemate.blogspot.com.es/

Páginas web con materiales y problemas para preparación de Olimpiadas:
http://www.sectormatematica.cl/olimpiadas.htm
(Al final de dicha página encontraréis enlaces con las páginas web de las Olimpiadas Matemáticas de muchos países del mundo)

http://wdb.ugr.es/~jmmanzano/preparacion/

Página web con información sobre la Olimpiada de Mayo:
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/index1.php?id_boton=131&menu=1

"No debes privarte de la satisfacción que produce resolver un buen problema de matemáticas..."

Concurso Canguro Matemático 2020

                                                                                 

Ahora que ya ha comenzado el nuevo curso, quiero presentaros un concurso de Matemáticas que me parece muy interesante.

Se trata del CANGURO MATEMÁTICO, un concurso a nivel internacional que en España se organiza desde Valladolid (aunque hay otra versión en catalán organizada desde Barcelona).

OBJETIVOS DEL CONCURSO

a) Ser un concurso PARA TODOS los alumnos y no sólo para los que obtienen mejores notas en Matemáticas. No debe hacerse una selección previa de los alumnos sino animar a todos a participar.

b) Conseguir que cada alumno, a través de las Matemáticas, se plantee un reto consigo mismo y con los demás. El concurso no es, ni pretende ser, una competición entre Centros.

c) Incentivar el gusto por el estudio de las Matemáticas.

d) Incorporar a aquellos alumnos que tienen "miedo" a las Matemáticas al estudio de las mismas, haciendo que descubran su sentido lúdico.

e) Tratar de que los alumnos consigan divertirse resolviendo cuestiones matemática.

f) Seguir aumentando el número de participantes de las convocatorias anteriores y conseguir las cuotas de participación existentes en otros países europeos. 

REGLAS DEL CONCURSO

El concurso consiste en la resolución de 30 problemas agrupados en 3 niveles de dificultad, durante 1 hora y 15 minutos.

Para cada problema se plantean 5 posibles respuestas, de las que el alumno tiene que seleccionar la correcta.

Hay seis niveles, uno por cada curso de Secundaria y otro por cada curso de Bachillerato, por lo que cada alumno participa en el nivel correspondiente a su curso.

Reglas:
- No se permite el uso de calculadoras. 

- Hay una única respuesta correcta para cada pregunta. 

- Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si fuera correcta. 

- Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. 

- Inicialmente cada alumno tiene 30 puntos.

Nuestro instituto lleva varios años colaborando en la organización de la prueba puesto que somos una de las sedes donde se realiza la prueba en Alicante.

Queremos animaros a participar puesto que es un concurso muy divertido, abierto a todos los alumnos, y muy bien organizado desde la Asociación Canguro Matemático Europeo.

El plazo de inscripción para la convocatoria del presente curso 2019-20 finaliza el sábado, 30 de Noviembre de 2019 y LA PRUEBA SE REALIZARÁ EL MARTES, 24 DE MARZO DE 2020.

A continuación, os indico la dirección de la página web de la organización donde podéis encontrar toda la información sobre la convocatoria de este año y de años anteriores, incluyendo las distintas pruebas y soluciones para que podáis prepararos adecuadamente.

http://www.canguromat.org.es/