Cálculo de límites: Indeterminaciones

En varias entradas anteriores hemos intentado comprender el concepto de límite de una función en un punto y límite de una función en infinito:

El concepto de límite de una función en un punto

El concepto de límite de una función en infinito

Ahora pretendo que conozcas algunos recursos interesantes a la hora de calcular límites de funciones y que, además, comprendas el concepto de indeterminación.

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

Comencemos con algunas propiedades básicas sobre límites que agilizan mucho su cálculo:

Estas propiedades se entienden bien cuando las funciones f y g tienen límites finitos pero también pueden aplicarse a funciones con límites infinitos, teniendo en cuenta los siguientes resultados:

Sería un ejercicio muy recomendable que intentaras razonar por qué es cierta cada una de las expresiones anteriores.

Recuerda que "infinito" no es un número real sino un símbolo que utilizamos para indicar que dicha función toma valores tan grandes como queramos en la zona en la que estamos hallando el límite. 

Cuando intentes comprender los resultados anteriores, recuerda que, cada vez que aparezca 0 en un límite, debes interpretarlo como "números tan pequeños como queramos" y cuando aparezca "∞" lo interpretas como "números tan grandes como queramos". Verás como te resultan lógicas todas ellas.

INDETERMINACIONES

Sin embargo, al calcular límites de funciones nos encontraremos en muchas ocasiones con expresiones cuyo resultado no se podrá determinar directamente utilizando las propiedades habituales de los límites de funciones. En estos casos, el resultado del límite dependerá de la función concreta que estemos estudiando.

Dichas expresiones reciben el nombre de indeterminaciones y son las siguientes:

Vamos a intentar comprender por qué son indeterminaciones, es decir, expresiones cuyo resultado no se puede conocer de antemano ya que depende de las funciones que intervengan en el límite.

Como hemos comentado anteriormente, el error principal que se suele cometer es considerar "∞" como un número real e intentar operar con él como si lo fuera.

Por ejemplo, es muy habitual creer que "∞-∞" es 0 siempre, puesto que lo consideramos como un número real, pero no es así. Recuerda que cada vez que aparezca 0 como resultado de un límite debemos sustituirlo por la expresión "números tan pequeños como queramos" y cuando aparezca "∞" hemos de sustituirlo por "números tan grandes como queramos".

De este modo, "∞-∞" se interpreta como "un número muy, muy grande" menos "otro número muy, muy grande". Pero, ¿cuál de las dos cantidades es más grande?
Ahí surgen las distintas posibilidades:

• Si es más grande (de orden superior) el primero , la diferencia será muy grande y positiva, y el resultado tenderá a "+∞".

• Si es más grande (de orden superior) el segundo, la diferencia será muy grande pero negativa, y el resultado tenderá a "-∞".

• Pero si los dos son muy grandes del mismo orden, la diferencia puede tender a un número real.

Como puedes observar, una misma expresión da lugar a resultados distintos según la función que estés considerando. Por eso se llama "indeterminación".

Sería bueno que intentaras seguir el mismo proceso de razonamiento con otras expresiones indeterminadas, tomando valores muy grandes o muy pequeños, según el caso. Puedes utilizar tu calculadora para hacer las operaciones necesarias.

CÁLCULO DE LÍMITES: TÉCNICAS BÁSICAS

Recuerda que el hecho de que te encuentres una indeterminación no significa que la función no tenga límite. Solo indica que no puedes obtenerlo siguiendo las propiedades habituales.

Debes intentar que dicha indeterminación desaparezca utilizando algunas técnicas de cálculo específicas para cada situación.

En los siguientes enlaces puedes encontrar ejemplos en los que se muestra cómo debes actuar para "evitar las principales indeterminaciones":

Ejemplos resueltos de límites de funciones. Indeterminaciones

Ejercicios sobre límites de funciones

Teoría y ejercicios (Proyecto Matex)


INFINITÉSIMOS E INFINITOS EQUIVALENTES

Ejercicios sobre infinitésimos e infinitos equivalentes


LA REGLA DE L'HÔPITAL

Teoría y ejercicios resueltos

¡Ahora solo falta que practiques mucho y verás que el cálculo de límites no es difícil y puede resultar hasta entretenido!

Algunas aplicaciones del cálculo integral.

En un artículo anterior hicimos un breve recorrido histórico por el cálculo integral y os proporcioné enlaces para conocer algunas técnicas básicas de cálculo de primitivas de una función así como el concepto de integral definida y su aplicación al cálculo de áreas:

Recorrido histórico por el cálculo integral

Cálculo de primitivas de una función. Integral indefinida

La integral definida. Cálculo de áreas

• Recordemos que la integración se entendía como un tipo de "proceso de suma" que permitía sumar infinitas cantidades "infinitesimales" (es decir, infinitamente pequeñas).

Esta idea es clave a la hora de aplicar la integral definida en diferentes campos del conocimiento.

• Recordemos también que la integración viene a ser como "el proceso contrario de la derivación" por lo que si conocemos la derivada de una función y queremos obtener la función tendremos que integrar:

Esta idea es importante también a la hora de buscar aplicaciones de la integral en la vida real porque, en ocasiones, conoceremos la derivada de una función y necesitaremos encontrar la función de la que proviene.

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Ahora pretendo mostrar algunas aplicaciones del cálculo integral en la vida real:

MATEMÁTICAS

- Cálculo de áreas de superficies planas

- Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

- Cálculo de volúmenes de sólidos con secciones conocidas

- Cálculo de superficies de cuerpos de revolución

- Cálculo de longitudes de curvas

ESTADÍSTICA

- Para calcular probabilidades en variables aleatorias continuas

- Para examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad - probabilidad) 

- Para la propagación de incertidumbres, algoritmos y en probabilidades financieras

FÍSICA

- Para obtener velocidades y aceleraciones de móviles

- Al calcular momentos de inercia

- Al calcular el trabajo realizado por una fuerza variable

- En muchas situaciones físicas se emplea en la aproximación del impulso en choques o colisiones

- En hidráulica se emplea para hallar la superficie y el volumen de un líquido y para calcular su fuerza y presión

QUÍMICA 

- Para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo

MEDICINA

- Para encontrar el ángulo de ramificación óptimo en los vasos sanguíneos con el fin de maximizar el flujo

- Para determinar el gasto cardíaco

BIOLOGÍA

- Para determinar el flujo sanguíneo (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad de tiempo) de una persona y su gasto cardíaco (volumen de sangre bombeado por el corazón por unidad de tiempo)

ECOLOGÍA Y MEDIO AMBIENTE

- En el conteo de organismos y cálculo de crecimiento exponencial de bacterias y especies

- En modelos ecológicos como el cálculo de crecimiento poblacional, ley de enfriamiento y calentamiento global del planeta

INFORMÁTICA Y COMPUTACIÓN

- En la fabricación de chips

- En la miniaturización de componentes internos

- En la administración de las compuertas de los circuitos integrados

- En la compresión y digitalización de imágenes, sonidos y vídeos

- En la investigación sobre inteligencias artificiales

INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

- Para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corrientes...

- Para estudiar comportamientos en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina)

- Para calcular el flujo de electrones por un conductor a través del tiempo

- Para averiguar la energía que posee un circuito


- Para hallar el voltaje en un condensador en un tiempo determinado

INGENIERÍA CIVIL

- Para calcular el centro de gravedad de un cuerpo  (punto donde se concentra toda la masa del cuerpo)

- Para calcular estructuras

- En el análisis de vigas

- Para el cálculo de superficies irregulares

ECONOMÍA

- Para hallar costes totales a partir de costes marginales

- Conocer el superávit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores al comprar un artículo a un precio dado)

SOCIOLOGÍA

- Para calcular la población en un intervalo de tiempo

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El siguiente gráfico puede ser muy ilustrativo. Muestra las ventajas del cálculo integral en algunas situaciones concretas: 

Espero que el hecho de descubrir todas estas aplicaciones (y muchas más que no hemos mencionado) te motive a esforzarte por entender y utilizar adecuadamente esta potente herramienta del cálculo.

Recorrido histórico por el cálculo integral.

Cuando se estudia el tema de integrales en el currículo de bachillerato se suele comenzar por la parte dedicada al Cálculo de primitivas (integral indefinida) para acabar con la integral definida y sus aplicaciones.

De este modo, el alumno puede pensar que históricamente el desarrollo del cálculo integral se produjo en ese orden, y no es así. En este artículo vamos a hacer un breve recorrido por la historia de esta parte tan importante de las matemáticas.

ORIGEN DEL CÁLCULO INTEGRAL

Algunos autores sitúan su origen en la época del antiguo Egipto (1800 años a.C.), con el papiro de Moscú, en el que se demuestra que ya conocían una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal.

Sin embargo, la mayoría de los autores sitúan el origen del Cálculo Integral en una época posterior, hace más de 2300 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del área ideando el procedimiento que llamaron "método de exhaución".

La idea esencial del "método de exhaución" consiste en intentar determinar el área de una región por medio de aproximaciones, utilizando regiones poligonales cuya área sea más fácil de calcular. Se continuaba con el proceso aumentando los lados de los polígonos hasta conseguir la mejor aproximación posible de la región que querían determinar. 

Este método fue usado satisfactoriamente por Eudoxo de Cnido (405-355 a.C.) y por Arquímedes (287-212 a.C.). Este último consiguió hallar fórmulas exactas de las áreas del círculo y de algunas otras figuras especiales. En la siguiente figura podemos ver el método de exhaución aplicado para determinar el área del círculo:

Calculó el volumen y la superficie de una esfera y de un cono, así como la superficie de una elipse y de una parábola.

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Hasta el siglo XVII se utilizaron métodos similares a los empleados por los antiguos griegos.

Sabemos que el área es una medida de la extensión de una superficie. Determinar esta medida para superficies con líneas rectas suele ser bastante fácil. Por ejemplo, para un rectángulo su área se define como el producto de la longitud y el ancho. O para un triángulo, como la mitad de la base por la altura. El área de cualquier otro polígono se encuentra al dividirlo en triángulos y luego sumar las áreas de cada uno ellos. 

Pero para los casos de las regiones con líneas curvas, el cálculo del área ya es tan fácil. Para estos casos debemos recurrir a un método similar al de exhaución que mencionábamos anteriormente. Vamos dividiendo la región en varios rectángulos y luego calculamos el área como la suma de las áreas de cada uno de estos rectángulos. 

Como vemos en la figura que aparece a continuación, a medida que agregamos más rectángulos, nos vamos aproximando cada vez más al valor real del área de la superficie curva, hasta el punto de que, si fuéramos capaces de dividir la región en muchísimos ("infinitos") rectángulos muy estrechos podríamos alcanzar el resultado exacto del área de nuestra superficie curva. 

La idea es buena pero, en la práctica, resulta muy pesado hacer esos cálculos puesto que habría que sumar las áreas de muchísimos ("infinitos") rectángulos y, además, tendríamos que encontrar métodos de cálculo para obtener las alturas adecuadas de los rectángulos inscritos o circunscritos a la superficie. ¡Muy laborioso!

Sin embargo, en esa época y gracias a las aportaciones de Isaac Barrow (1660-1677), James Gregory (1638-1675), Isaac Newton (1642-1726) y Gottfried Leibniz (1646-1716), fundamentalmente, se produjo la conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial (que surgió a partir del problema de la tangente) y el cálculo integral (que surgió a partir del problema del área), sin aparente relación con el anterior. 

Se demostró el Teorema Fundamental del Cálculo, que viene a decir que la derivación y la integración de una función son "operaciones inversas". 

¡El resultado es realmente sorprendente! 

¿Cómo es posible que dos conceptos que surgieron para resolver problemas que aparentemente no tenían nada que ver pueden estar tan íntimamente relacionados? Sin duda, es uno de los resultados más importantes de la historia de las matemáticas.

A partir de él, se demostró el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, también conocido como Regla de Barrow, que reduce el cálculo de una integral definida (área) a la obtención de una primitiva de la función integrando ("antiderivada"). 

Como derivar e integrar eran procesos mecánicos cuyo estudio estaba ya muy avanzado, se podía hallar áreas de recintos curvos de una manera mucho más sencilla. 

FORMALIZACIÓN DEL PROCESO

Sin embargo, la formalización de todo este proceso fue posterior, puesto que se necesitaba el concepto de límite de funciones que no surgió hasta el siglo XIX, con Bolzano, Cauchy y Weierstrass, entre otros.

A partir de ahí, Riemann (1826-1866) formalizó el concepto de integral definida como el límite de la suma de las áreas de infinitos rectángulos increíblemente estrechos. Así podemos determinar el resultado exacto del área de nuestra superficie curva. Este proceso lo podemos ver más claramente en la siguiente figura.

Riemann definió la integral del siguiente modo:

Posteriormente, Lebesgue dio una definición diferente de la integral​ basada en la teoría de la medida que generalizaba la definición de Riemann.

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Por cierto, el símbolo de la integral tal y como lo conocemos actualmente se lo debemos a Leibniz y proviene de la inicial de la palabra "Suma", es una S alargada.

Para finalizar, dejo unos enlaces por si te interesa conocer algunas técnicas básicas de cálculo de primitivas de una función y el concepto de integral definida y su aplicación al cálculo de áreas. Espero que te sean de utilidad.

Cálculo de primitivas de una función. Integral indefinida.

Integral definida. Cálculo de áreas.