El concepto de límite de una función en un punto.

Seguramente, uno de los conceptos más importantes de las matemáticas sea el concepto de límite de una función. Es muy probable que hayas aprendido a calcular límites mecánicamente pero no sepas lo que realmente estás haciendo.

Aquí vamos a centrarnos en entender el concepto de límite de una función en un punto x=a. En otra entrada posterior abordaremos el concepto de límite de una función cuando x tiende a infinito.

Las técnicas de cálculo de límites ya las estudiarás en clase porque eso es mucho más fácil de aprender.

• ¿Para qué calculamos límites de funciones?

Cuando necesitamos conocer el valor de una función en un punto simplemente sustituimos el valor de x en la expresión analítica de la función y operamos para obtener su imagen. Lo que ocurre es que ciertas funciones tienen comportamientos "peculiares" en algunos puntos.

Mediante el cálculo de límites de funciones queremos estudiar el comportamiento de una función f(x) en alguna zona de su dominio, descubriendo si dicha función muestra algún tipo de tendencia cuando tomamos valores de x muy próximos a un cierto punto, o bien cuando tomamos valores de x muy grandes positivos o muy grandes negativos.

Los límites de funciones sirven, pues, para descubrir tendencias en el comportamiento de las funciones.

Observa la siguiente gráfica. Vamos a estudiar algunos comportamientos que nos llaman la atención en esta función:

a)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = -2?

Si tomamos valores de x muy próximos a -2, sus imágenes van siendo muy muy grandes, diríamos que tienden a + infinito.

b)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = -1?

Si tomamos valores de x muy parecidos a -1, sus imágenes se aproximan a 1 tanto como queramos (pero no llegan a tomar el valor 1 porque el punto (-1,1) está abierto).

c)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = 0?

Si tomamos valores de x muy próximos a 0, sus imágenes se aproximan a 1'5 tanto como queramos (llegando a tomar el valor 1'5 en x=0.

d)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = 1?

Ahora, si nos aproximamos a x=1 por su izquierda, la función se aproxima a 2 tanto como queramos, pero si nos aproximamos a x=1 por su derecha, la función se aproxima a 3 tanto como queramos.

e)  ¿Qué ocurre si tomamos valores de x muy muy grandes pero negativos?

Observamos que, en este caso, las imágenes obtenidas (y) van siendo números cada vez más próximos a 0, llegando a ser tan pequeños como queramos.

f)  Por último, ¿qué ocurre si tomamos valores de x muy muy grandes pero positivos?

En este caso, las imágenes obtenidas para dichos valores son cada vez más grandes en valor absoluto pero negativas.

En los próximos apartados vamos a ir precisando todas estas situaciones. Sólo te adelanto que representaremos cada uno de los casos anteriores del siguiente modo:

El problema es que habitualmente no conoceremos la gráfica de la función y tendremos que hacer todo el estudio a partir de su expresión analítica.

De hecho, uno de los objetivos fundamentales del Análisis Funcional es obtener toda la información posible sobre la gráfica de una función a partir de su expresión analítica. Como irás descubriendo, el cálculo de límites es una herramienta muy importante pues nos permitirá estudiar la continuidad de la función, la existencia de asíntotas...

Nosotros comenzaremos el estudio de los límites desde el punto de vista intuitivo, calculando imágenes de puntos adecuados y descubriendo su tendencia.

Para acabar, introduciremos la definición formal de límite en algún caso concreto, simplemente para que observes lo complejo que puede resultar dar una definición precisa y rigurosa de ciertos conceptos en matemáticas.

• Límite finito de una función en un punto x=a

Calcularemos este tipo de límites cuando pretendamos estudiar el comportamiento de la función en las proximidades de un punto concreto x=a.

Supongamos que queremos estimar el comportamiento de la siguiente función en las proximidades de x = 2:

Para ello, vamos a tomar valores de x cada vez más próximos a 2 y estudiaremos el comportamiento de sus imágenes. Pero lo vamos a hacer de forma ordenada.

Primero nos vamos a acercar a 2 por su derecha, es decir, con valores mayores que 2, tales como: 3, 2'5, 2'1, 2'05,  2'04, 2'03, 2'02, 2'01, 2'001, 2'0001... y hallaremos sus correspondientes imágenes:

Observa que las imágenes se aproximan muchísimo a 1. En este caso, diremos que el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha es 1.

A continuación, nos acercamos a 2 por su izquierda, es decir, con valores menores que 2, tales como: 1, 1'5, 1'7, 1'9, 1'95, 1'97, 1'98, 1'99, 1'999, 1'9999... y hallaremos sus correspondientes imágenes:

Comprobamos que las imágenes también se aproximan muchísimo a 1. Diremos que el límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda también es 1.

Y como tiende a 1 por la derecha y por la izquierda, diremos que el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.

Por lo tanto, podremos conseguir que la función anterior tome valores tan próximos a 1 como queremos con tal de tomar valores de x tan próximos a 2 como sea necesario.

En esta afirmación se basa la definición formal de límite de una función en un punto, que, como verás a continuación, es bastante complicada de entender por su simbolismo:

Viene a decir que podemos conseguir que f(x) tome valores muy próximos a L tomando valores de x suficientemente próximos a "a". 

Dicho de otro modo, podemos conseguir que la diferencia  f(x) - L  sea prácticamente 0 en valor absoluto tomando valores de x muy próximos a "a", es decir, tales que  x - a  sea prácticamente 0 en valor absoluto.

Intenta comprender la definición con ayuda del siguiente gráfico:

Es una definición bastante abstracta, pero tendrás que acostumbrarte a esta notación y a este tipo de definición formal en cursos superiores. De momento, es mucho más interesante que comprendas la idea intuitiva de límite.

• Límite infinito de una función en un punto x=a.

Vamos a estudiar el comportamiento de la siguiente función alrededor del punto x=3:

Para ello damos valores a x próximos a 3, primero por la izquierda y luego por la derecha:

A medida que x tiende a 3 por la izquierda, la función toma valores tan grandes y negativos como queramos, y a medida que x tiende a 3 por la derecha, la función toma valores tan grandes y positivos como queramos. Es decir:

En este caso, se dice que la función diverge a infinito aunque hay autores que dicen que dicho límite en x=3 no existe puesto que son distintos los límites laterales. Ambas afirmaciones se consideran correctas.

La gráfica de la función estudiada es:

Observa que el efecto gráfico del límite infinito obtenido es la existencia de una asíntota vertical (la recta de ecuación x=3) en la gráfica de dicha función. 

Observa este otro ejemplo:

En este caso, diremos que:

y la recta x=1 será una asíntota vertical que nos será de gran ayuda a la hora de representar la gráfica de dicha función. 

- - - - - - - - - -

Para que puedas comprobar si has entendido los conceptos anteriores, vamos a estudiar el comportamiento de la siguiente función en algunos puntos:

• ¿Cómo se comporta esta función alrededor de x = -2?

Observa que por la izquierda tiende a 1 mientras que por la derecha tiende a -1. Como los límites laterales son distintos decimos que en x = -2  no tiene límite.

• ¿Cómo se comporta alrededor de x = 0?

En el gráfico se puede comprobar que tanto por la izquierda como por la derecha tiende a 1, por lo que diremos que el límite cuando x tiende a 0 es 1. 

Fíjate que esta función no está definida en x=0, lo que no influye en el cálculo del límite porque con el límite queremos estudiar el comportamiento de la función en las proximidades de 0 (sin importar lo que ocurra cuando x vale 0).

• ¿Cómo se comporta alrededor de x = 2?

En este caso, cuando tiende a 2 por la izquierda la función toma valores grandísimos pero negativos. Diremos que el límite por la izquierda es "- infinito". 

En cambio, cuando tiende a 2 por la derecha la función toma valores grandísimos y positivos. Por lo tanto, el límite por la derecha es "+ infinito".

Observa la existencia de una asíntota vertical en la gráfica de la función, cuya ecuación es x = 2.

- - - - - - - - - -

Con esto concluimos el estudio del concepto de límite de una función en un punto. Como te decía al principio, en una entrada posterior abordaremos el concepto de límite de una función cuando x tiende a más o menos infinito.