El concepto de función

En el libro de texto que siguen mis alumnos podemos leer:

Una función relaciona dos variables numéricas a las que, habitualmente, llamamos x e y :                           x  es la variable independiente              y  es la variable dependiente.

La función, que suele denotarse por  y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y :                                                                                   x →  y = f(x)

El concepto parece bastante claro, pero si preguntas a un alumno ¿qué es para ti una función?, la mayor parte de ellos no son capaces de dar una respuesta correcta. 

Tal vez el problema sea que no se entiende el significado de alguno de los términos que aparecen en la defiinición. Así, por ejemplo:

¿Qué es una variable?

Según la RAE, una variable es una magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto. Para que nos entendamos, "una magnitud que puede tomar distintos valores". Por lo tanto, serán variables magnitudes como el tiempo, el peso de las personas, la temperatura...

¿Qué significa que una variable sea independiente?

Significa que esa variable puede cambiar libremente su valor dentro del conjunto de valores para los que está definida. Es decir, "podemos elegir el valor que toma dicha variable porque no depende de ninguna otra".

¿Qué significa que una variable sea dependiente?

Significa que el valor que toma esta variable está condicionado por el valor elegido para la variable de la que depende, es decir, su valor no es libre pues depende del valor considerado para la variable independiente.

¿Todas las relaciones entre dos variables son funciones?

No, para que una relación entre dos variables sea una función debe cumplir que asocie a cada valor de la variable independiente un único valor de la variable dependiente, es decir, que cada valor de x tenga una única imagen y.

Esto se puede observar muy fácilmente a partir de la representación gráfica:

No se trata de la gráfica de una función porque hay valores de x que tienen más de una imagen.

¿Qué significa la expresión  y = f(x)?

Con esta expresión queremos indicar que la magnitud "y" depende de los valores que tome la magnitud "x" (que será, pues, la variable independiente), y que la relación entre ellas viene dada por una función que llamamos f (la inicial de la palabra "función"), pero que podría llamarse de cualquier otro modo:  g(x) , S(x) , B(x) ...

De hecho, en Física encontramos fórmulas como  s(t) = 2 t + 5, que nos indica que el espacio "s" está relacionado con el tiempo "t" mediante la expresión s = 2t+5 . Diremos, por lo tanto, que el espacio recorrido es función del tiempo empleado. La variable independiente será el tiempo y la dependiente el espacio recorrido.

¿De qué formas pueden venir dadas las funciones?

Para dar una función necesitamos indicar la relación que existe entre dos variables, y lo podemos hacer de diversas formas:

• Mediante una gráfica, en la que representamos la variable independiente en el eje horizontal (X) y la variable dependiente en el eje vertical (Y)

     Ejemplo: La siguiente gráfica representa la variación de la temperatura de un enfermo a lo largo del día. 

 

A partir de ella es muy fácil deducir la relación entre la temperatura (variable dependiente) y la hora del día (variable independiente). Por ejemplo, a las 22 horas el enfermo tiene una temperatura de 39,5 grados, es decir,  f(22) = 39,5

• Mediante una tabla de valores:

     Ejemplo: En la siguiente tabla se indica la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses):

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. Por ejemplo, en el segundo mes el feto mide 4 cm, por lo que decimos que la imagen de 2 es 4 y lo expresamos como f(2) = 4.

• Mediante una descripción verbal (enunciado) 

    Ejemplo: En el recibo mensual del agua, la compañía suministradora nos cobra una cantidad fija de 10 € por distribución, depuración y otros conceptos, más 3 € por cada metro cúbico de agua consumida. 

• Mediante una fórmula o expresión algebraica:

     Ejemplo anterior: Si designamos por "x" el consumo de agua en un mes (en metros cúbicos) y por "y" el coste de la factura de dicho mes (en euros) obtenemos la relación  y = 3 x + 10, que también se puede expresar como f(x) = 3 x + 10.

Para hallar el coste de la factura en un mes en el que hemos consumido 20 metros cúbicos de agua solo debemos sustituir x por 20 en dicha fórmula, obteniendo un coste de 70 €. Lo podemos expresar diciendo que  f(20) = 70.

Como puedes observar, una vez que fijamos un valor concreto de la variable independiente (x=20) el valor de la variable dependiente es fijo (y=70) puesto que depende de él.

A partir de la expresión anterior podemos construir la siguiente tabla de valores:

Y representar su gráfica:

Y ahora, después de haber aclarado estas cuestiones, intenta responder a la pregunta... ¿qué es para ti una función?