Distintos significados del signo =

El aprendizaje de las Matemáticas implica el manejo y comprensión de los símbolos matemáticos. Al ser signos con significados convencionales los alumnos encuentran dificultades en su aprendizaje. Una de estas dificultades es el hecho de que un mismo símbolo puede tener significados distintos.

Si el alumno no adquiere el significado correcto de cada signo en el contexto en el que lo está utilizando seguramente tendrá muchas dificultades a la hora de comprender lo que está haciendo.

Uno de los signos más utilizados en matemáticas y al que los estudiantes no le dotan de un significado completo es el signo igual "=".

En esta entrada del blog vamos a centrarnos en algunos de sus significados porque considero que su conocimiento es muy importante para poder comprender multitud de expresiones aritméticas y algebraicas:

• Los alumnos empiezan utilizando el signo "=" como operador; es decir, para ellos el signo "=" indica que deben realizar una operación y escribir el resultado a su derecha. Es, pues, "una invitación a hacer algo".

El resultado de la operación realizada es correcto puesto que la expresión que hay la izquierda del signo "igual" (2+1) tiene el mismo valor que la expresión que hay a su derecha (3). 

• Cuando se ha efectuado la operación el signo "=" tiene el significado de igualdad matemática entre expresiones numéricas (relación de igualdad).

La interpretación del signo "igual" como operador seguirá siendo válida no solo en aritmética sino también en otros campos de las matemáticas como, por ejemplo, en álgebra (operando polinomios o fracciones algebraicas...)

En este caso, el signo igual tiene un significado unidireccional puesto que lo que hay a la izquierda del signo (=) es igual a lo que hay a su derecha, pero carece de interés que lo que hay a la derecha sea igual a lo que hay a su izquierda.

Ejemplo:  2 + 1 = 3 implica que la suma de 2 más 1 da como resultado 3, pero no tiene mucho interés que 3 sea la suma de 2 más 1, aunque sea cierto.

La solución de una operación será correcta cuando a ambos lados del signo "=" aparezcan expresiones que sean iguales. 

Parece una obviedad, pero no lo es.  Hay alumnos que utilizan el signo "=" relacionando expresiones que no son iguales. 

Veamos un ejemplo real:

Es cierto que la respuesta final del alumno es correcta puesto que  2 + 3 + 4 + 5 es igual a 14, pero ha utilizado mal los dos primeros signos = puesto que, si leemos paso a paso la cadena de igualdades, el alumno afirma que 2 + 3 = 5 + 4  y que 5 + 4 = 9 + 5.

Debemos corregir estos errores desde el primer momento para que el alumno utilice siempre de forma adecuada el signo "igual".

• A medida que avanza en sus estudios, el alumno se encuentra con otro tipo de igualdades en las que también se interpreta el signo "=" como igualdad matemática entre expresiones. Son, por ejemplo, las expresiones que se utilizan para enunciar propiedades de las operaciones, las identidades notables, las fórmulas de geometría... 

Veamos algunos ejemplos: \[ a+b=b+a\]

(Propiedad conmutativa de la suma)

\[ \left(a+b \right)^2=a^2+2ab+b^2\]

(Cuadrado del binomio suma)

\[A=b\cdot h\]

(Área de un rectángulo)

En este caso, el signo "=" tiene un significado de equivalencia. Su significado es bidireccional: el primer miembro de la igualdad es igual al segundo, y al revés, el segundo miembro de la igualdad es igual al primero. Es decir, "cada igualdad en realidad son dos igualdades", una leída de izquierda a derecha y otra leída de derecha a izquierda.

• En otras ocasiones, utilizamos el signo "=" para asignar valores a ciertos parámetros o variables, por ejemplo: 

\[x=2\]

o

\[g=9,8 m/s^2\]

• Pero lo que resulta complicado de entender para muchos de nuestros alumnos es el significado del signo "=" en una ecuación, porque, en este caso, no actúa ni como operador que nos invita a efectuar algún cálculo ni como igualdad entre dos expresiones (ya que lo que aparece a ambos lados del signo = no es igual siempre). 

Entonces, ¿qué interpretación debemos dar la signo "=" en una ecuación?

He leído en algunos textos que tiene un "significado condicional". Es decir, que podemos interpretar la expresión 3x - 5 = 1,   diciendo: "Si es cierto que  3x - 5  es igual a 1, entonces x debe valer ...". 

Aunque, en otras ocasiones, se interpreta una ecuación como una "propuesta de igualdad", es decir, como una igualdad entre expresiones que solo es cierta para algunos valores de la incógnita, por lo que podemos interpretar la expresión  3x - 5 = 1   en forma de pregunta: "¿Para qué valor de x es cierto que la expresión 3x - 5 es igual a 1?"

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Los profesores debemos acostumbrar al alumno a que se detenga a interpretar adecuadamente el significado del signo "=" cada vez que aparezca en un ejercicio o cada vez que necesite utilizarlo en alguna situación. 

De este modo evitaremos errores tan habituales y absurdos como el que se muestra en el siguiente ejemplo real:

Ejercicio:  Simplifica la siguiente expresión: 

\[(x^2-7x-6)+2\cdot(3x+2)\]

Resolución del alumno (errónea, por supuesto):  

\[(x^2-7x-6)+2\cdot(3x+2)=x^2-x-2=0 \]

\[x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}2=\frac{1\pm 3}{2}\to x=2,x=-1\]

El alumno ha transformado un ejercicio en el que se pedía que simplificara una expresión algebraica (donde el signo = tenía un significado de operador), en otro muy diferente como es la resolución de una ecuación de segundo grado.

En este proceso, ha utilizado correctamente el primer signo = pero, de repente, ha igualado el polinomio resultante a 0. No me preguntéis por qué, pero ha transformado el polinomio (que era el resultado buscado) en una ecuación de segundo grado, por lo que, al final, la respuesta a la simplificación pedida ha sido que x vale 2 o  -1. Lógicamente, no tiene sentido.

Muchos errores como éste se evitarían si el alumno se parase a pensar qué significado tiene cada uno de los signos "=" que utiliza:

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Acabemos con una curiosidad:

¿Cuál es el origen histórico del signo de la igualdad? 

El signo igual "=", fue inventado en 1557 por un médico y matemático llamado Robert Recorde. Este señor, de nacionalidad inglesa, estudió en las universidades de Oxford y Cambridge, alternando su vida profesional entre la práctica de la medicina y la enseñanza de las matemáticas. 

Escribió numerosos tratados sobre ambas disciplinas, pero nos interesa especialmente uno, titulado: The Whetstone of Witte. En este libro fue en donde introdujo por primera vez el signo igual, y lo hizo con el fin de evitar la repetición continua de las palabras “igual a”. En el libro Recorde escribe:

“Para evitar la repetición tediosa de estas palabras: es igual a: fijaré, como hago con frecuencia en el transcurso de mi trabajo, un par de paralelas, o líneas gemelas de longitud uno: =, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales.”

Esta ocurrencia del matemático supuso un paso histórico hacia la simbolización del cálculo matemático; y fue tal el éxito que alcanzó, que pronto fue asimilado por todos los matemáticos, hasta el punto que seguimos usándolo más de 450 años después de su invención.

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Espero haberte hecho pensar un poco en los distintos significados del signo (=) y que eso te ayude a decidir qué interpretación debemos darle en cada caso. 

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Y ya que la educación en valores debe estar siempre presente en todas las materias, aprovechemos este artículo sobre el signo "=" para reivindicar la igualdad... entre hombre y mujeres.

Trabajar a diario.

Para buena parte de nuestros alumnos y alumnas, incluidos los que catalogamos como "buenos estudiantes", estudiar matemáticas en casa consiste en hacer la tarea que manda el profesor.

Aun así, hemos de ser conscientes de que la mayor parte del alumnado que hace la tarea lo hace por obligación, "porque nos lo manda el profe y, si no lo hacemos, nos pone un negativo...". 

Son pocos los que sienten la necesitad de hacer la tarea, "si no hago la tarea no me entero de lo que hemos trabajado en clase y no aprendo..."

Pero, debemos tener claro que, además de conseguir que nuestro alumnado adquiera las competencias propias de nuestra materia, tenemos que esforzarnos por que adquiera otras capacidades muy importantes para su futuro como son la autonomía y la capacidad de organizar bien su trabajo diario.

Por otro lado, si queremos que nuestro alumnado pueda hacer todas las tareas que les encomendamos diariamente, los profesores/as debemos ser comedidos a la hora de poner ejercicios. Es mejor que hagan 3 o 4 ejercicios fijándose bien en lo que hacen, a que tengan que resolver 10 o 12, o hasta una hoja entera de ejercicios... porque, en este caso, lo harán de cualquier manera con tal de "cubrir el expediente" y terminar pronto, o bien se lo copiarán de un compañero/a o, incluso, recurrirán a la IA... Todo con tal de evitar la reprimenda del profesor/a.

¿Cómo debo hacer la tarea?

Antes de empezar a resolver los ejercicios, se deben leer los apartados de teoría trabajados en clase para recordar las ideas principales. A veces, solo se necesitará un repaso muy ligero, pero, si no se ha entendido bien la explicación del profesor/a, el repaso debe ser más profundo.

A continuación, ya puede intentar resolver los ejercicios. 

En principio, es recomendable que haga el trabajo solo. Si algún ejercicio no lo sabe resolver o lo resuelve de forma incorrecta, puede revisar los ejercicios corregidos en clase o los ejemplos resueltos que suelen venir en el libro de texto. Incluso puede pedir ayuda a algún compañero/a o familiar que tenga conocimientos en el tema.

Actualmente, el alumnado dispone de muchos medios para resolver sus dudas en casa. En internet hay abundante material disponible, páginas web con teoría y ejercicios resueltos, tutoriales en vídeo muy interesantes, blogs como éste donde intentamos ayudar al alumnado... Lo importante es buscar la forma de resolver nuestras dudas y no quedarnos parados, esperando que nos las resuelvan los demás.

Conviene recordar que el profesor/a pone la tarea para el conjunto de la clase, pero algunos alumnos y alumnas deben adaptar los ejercicios a su nivel de conocimientos. 

Si un alumno/a tiene dificultades y comprende que los ejercicios propuestos son muy complicados para él, seguramente deba empezar por hacer ejercicios más sencillos; en cambio, si el alumno/a comprende que los ejercicios propuestos por el profesor son muy fáciles para él, debería hacer también algún ejercicio de mayor dificultad.

Si ve que su nivel de conocimientos no es muy alto, debe dedicar bastante tiempo a resolver ejercicios sencillos. Ya aumentará el grado de dificultad cuando haya asimilado bien los contenidos de nivel básico.

Recordemos que el alumnado debe aprender de forma progresiva, adquiriendo buena base para el futuro, por eso es fundamental que no avance hasta que haya conseguido un dominio adecuado para hacerlo.

"¿Y si el profesor no nos ha puesto tarea...?"

Hay profesores/as que tenemos la costumbre de poner tarea todos o casi todos los días, sobre todo en primaria y secundaria, aunque progresivamente vamos dejando de ponerla en los últimos cursos de secundaria y en bachillerato para que el alumnado se vaya acostumbrando a ser autónomo y aprenda a organizar sus estudios.

El alumno/a que no ha comprendido la importancia que tiene trabajar a diario esta materia, cuando su profesor no pone tarea pensará que no tiene nada que hacer, y eso hará, "nada".

En cambio, el alumno/a que siente la necesidad de trabajar a diario buscará tareas para hacer, repasará lo que se ha visto en clase, resolverá ejercicios similares... y, si tiene dudas, aprovechará la clase siguiente para preguntárselas al profesor/a y podrá así avanzar.

Ese es el objetivo que buscamos conseguir, que el alumnado aprenda a organizarse y sea autónomo.

No hay que desesperarse...

Los alumnos/as suelen tener la impresión de que, si al final no han sabido resolver correctamente los ejercicios, han perdido el tiempo, pero no tiene por qué ser así. 

Todo ese trabajo personal es muy importante porque habremos dedicado tiempo a pensar, habremos razonado, sabremos dónde han surgido las dificultades y, cuando se corrijan los ejercicios en clase, entenderemos por qué no supimos resolverlos y cómo deberíamos haberlos resuelto correctamente.

Para aprender hay que practicar y practicar, y a veces hay que equivocarse. Lo importante es comprender la forma de resolver cada ejercicio, y no repetir y repetir su resolución hasta memorizarlo, porque es poco probable que tengamos que volver a resolver el mismo ejercicio aunque, seguramente, sí que tengamos que resolver otros parecidos.

Recuerda: Siempre que estás trabajando, estás aprendiendo, aunque a veces te cueste creerlo.

" Profe, ¿hay que estudiar la teoría? "

La importancia de conocer "las reglas del juego"

Es frecuente que, cuando se acerca un examen, los alumnos pregunten en clase, "Profe", ¿hay que estudiar la teoría?

Pensando en esta cuestión, se me ocurre un símil que puede servir para responder a estos alumnos. 

Imagínate que un niño o una niña quiere empezar a jugar al baloncesto en un equipo. Su entrenador tendrá que indicarle unas reglas muy básicas que debe conocer: "el juego consiste en introducir la pelota por el aro", "no podemos ponernos a correr sin botar la pelota", "no se puede jugar con el pie"...

En un par de años ya no le servirá con conocer solo esas reglas básicas. Necesitará conocer otras más: ¿qué es una falta personal?, ¿qué se considera "dobles"? , ¿qué son "pasos"? ...

Y si va subiendo de categoría, tendrá que conocer y cumplir todas las reglas básicas porque los árbitros se encargarán de que dichas reglas se cumplan y no le permitirán hacer lo que quiera en el campo, tendrá que respetar las reglas del juego.

Ahora bien, si piensa dedicarse al baloncesto de forma profesional necesitará conocer y respetar todas las reglas del juego (las básicas y las no tan básicas) puesto que los árbitros no dejarán pasar ni una...

                

Lo mismo pasa con los estudiantes. 

• Cuando están en los niveles iniciales (infantil y primaria) solo deben conocer las reglas básicas para operar, y para ello necesitan mucha práctica y muy poca teoría.

• A medida que van pasando los cursos (secundaria), la necesidad de conocer "las reglas de juego de las matemáticas" aumenta, deben aprender algunas definiciones y las propiedades más importantes para poder decidir si lo que están haciendo es correcto o no. Los alumnos/as de los niveles básicos aprenden por repetición, apoyándose en la memoria, "recuerdo que se hacía algo así...", pero no se suelen apoyar en la comprensión porque, en muchos casos, desconocen las propiedades en las que se fundamenta el proceso que deben seguir.

• Y ya en bachillerato, al alumnado se le pide que conozca más cuestiones de teoría (conceptos, propiedades, teoremas e, incluso, algunas demostraciones...) porque la dificultad de los ejercicios y problemas que deben resolver aumenta y requiere de esos fundamentos teóricos para enfrentarse a ellos con garantía de éxito.

Como pasa con el baloncesto, el conocimiento de las reglas del juego matemático depende, pues, del nivel en el que se encuentren los alumnos y alumnas. Por lo que, a la pregunta inicial de si se debe estudiar la teoría, debemos responder que sí, pero el grado de profundización dependerá del nivel en que nos encontremos.

Como conclusión podríamos decir que el conocimiento de las cuestiones básicas de teoría es necesario para resolver ejercicios puesto que nos proporciona las herramientas para comprender si el proceso que estamos siguiendo es correcto o no.

El concepto de función

En el libro de texto que sigue mi alumnado podemos leer:

Una función relaciona dos variables numéricas a las que, habitualmente, llamamos x e y, donde:                           

x  es la variable independiente 

y  es la variable dependiente.

La función, que suele denotarse por  y = f(x), asocia a cada valor de la variable x un único valor de la variable y :    

x →  y = f(x)

El concepto parece bastante claro, pero si preguntas a un alumno/a ¿qué es para ti una función?, la mayoría no es capaz de dar una respuesta correcta. 

Tal vez el problema sea que no se entiende el significado de alguno de los términos que aparecen en la definición. Así, por ejemplo:

¿Qué es una variable?

Según la RAE, una variable es una magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto. Para que nos entendamos, "una magnitud que puede tomar distintos valores". Por lo tanto, serán variables magnitudes como el tiempo, el peso de las personas, la temperatura...

¿Qué significa que una variable sea independiente?

Significa que esa variable puede cambiar libremente su valor dentro del conjunto de valores para los que está definida. Es decir, "podemos elegir el valor que toma dicha variable porque no depende de ninguna otra".

¿Qué significa que una variable sea dependiente?

Significa que el valor que toma esta variable está condicionado por el valor elegido para la variable de la que depende, es decir, su valor no es libre pues depende del valor considerado para la variable independiente.

¿Todas las relaciones entre dos variables son funciones?

No, para que una relación entre dos variables sea una función debe cumplir que asocie a cada valor de la variable independiente un único valor de la variable dependiente, es decir, que cada valor de x tenga una única imagen y.

Esto se puede observar muy fácilmente a partir de la representación gráfica:

No se trata de la gráfica de una función porque hay valores de x que tienen más de una imagen.

¿Qué significa la expresión  y = f(x)?

Con esta expresión queremos indicar que la magnitud "y" depende de los valores que tome la magnitud "x" (que será, pues, la variable independiente), y que la relación entre ellas viene dada por una función que llamamos f (la inicial de la palabra "función"), pero que podría llamarse de cualquier otro modo:  g(x) , S(x) , B(x) ...

De hecho, en Física encontramos fórmulas como  s(t) = 2 t + 5, que nos indica que el espacio "s" está relacionado con el tiempo "t" mediante la expresión s = 2t+5 . Diremos, por lo tanto, que el espacio recorrido es función del tiempo empleado. La variable independiente será el tiempo y la dependiente será el espacio recorrido.

¿De qué formas pueden venir dadas las funciones?

Para dar una función necesitamos indicar la relación que existe entre dos variables, y eso lo podemos hacer de diversas formas:

• Mediante una gráfica, en la que representamos la variable independiente en el eje horizontal (X) y la variable dependiente en el eje vertical (Y)

     Ejemplo: La siguiente gráfica representa la variación de la temperatura de un enfermo a lo largo del día. 

 

A partir de ella es muy fácil deducir la relación entre la temperatura (variable dependiente) y la hora del día (variable independiente). Por ejemplo, a las 22 horas el enfermo tiene una temperatura de 39,5 grados, es decir,  f(22) = 39,5

• Mediante una tabla de valores:

     Ejemplo: En la siguiente tabla se indica la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses):

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. Por ejemplo, en el segundo mes el feto mide 4 cm, por lo que decimos que la imagen de 2 es 4 y lo expresamos como f(2) = 4.

• Mediante una descripción verbal (enunciado) 

    Ejemplo: En el recibo mensual del agua, la compañía suministradora nos cobra una cantidad fija de 10 € por distribución, depuración y otros conceptos, más 3 € por cada metro cúbico de agua consumida. 

• Mediante una fórmula o expresión algebraica:

     Ejemplo anterior: Si designamos por "x" el consumo de agua en un mes (en metros cúbicos) y por "y" el coste de la factura de dicho mes (en euros) obtenemos la relación  y = 3 x + 10, que también se puede expresar como f(x) = 3 x + 10.

Para hallar el coste de la factura en un mes en el que hemos consumido 20 metros cúbicos de agua solo debemos sustituir x por 20 en dicha fórmula, obteniendo un coste de 70 €. Lo podemos expresar diciendo que  f(20) = 70.

Como puedes observar, una vez que fijamos un valor concreto de la variable independiente (x=20) el valor de la variable dependiente es fijo (y=70) puesto que depende de él.

A partir de la expresión anterior podemos construir la siguiente tabla de valores:

Y representar su gráfica:

Y ahora, después de haber aclarado estas cuestiones, intenta responder a la pregunta... ¿qué es para ti una función?

Construcción de un Omnipoliedro

Quiero presentaros una actividad que realizamos en el IES Miguel Hernández de Alicante con motivo de las Jornadas Culturales. Se trata de la construcción de un Omnipoliedro en el patio del instituto.

Os preguntaréis qué es un omnipoliedro, pues es una composición realizada con los armazones de los cinco poliedros regulares, de forma que  los cinco están inscritos uno dentro de otro.

En el interior se encuentra el octaedro (amarillo), sus vértices se sitúan en  el centro de las aristas del tetraedro (rojo). Los cuatro vértices del tetraedro coinciden con otros tantos del cubo (verde). Las aristas del cubo se encuentran sobre las caras del dodecaedro (morada), y por último, el icosaedro (azul) proporciona rigidez al dodecaedro cuando las aristas de ambos se cortan el los puntos medios.

Es una actividad propuesta para el alumnado de Secundaria, preferentemente para el de 2º y 3º de ESO, puesto que en nuestro centro hemos distribuido los contenidos de geometría en las propuestas pedagógicas de ambos cursos. Dedicamos la primera evaluación de 2º al estudio de la geometría descriptiva plana, y parte de la tercera evaluación de 3º a la geometría descriptiva en el espacio.

A continuación, os dejo una presentación con la información relativa a esta actividad y un vídeo explicativo sobre el proceso de construcción:

                                             PRESENTACIÓN PPT:  Construcción de un Omnipoliedro

                                                                  VÍDEO:  Construcción de un Omnipoliedro

Como habéis podido comprobar, la actividad resulta muy divertida puesto que todos, profesorado y alumnado, podemos pasar un rato al aire libre, aprendiendo geometría a través de la manipulación y del trabajo en equipo.  

El por qué de este blog

Durante mis años de docencia he observado que muchos alumnos y alumnas intentan "aprender matemáticas" en lugar de "entender las matemáticas". 

Para este alumnado, las matemáticas no son más que una "colección de recetas" que tienen que aprender para luego utilizar como quieran y cuando quieran. Por lo tanto, recurren constantemente a la memoria como única herramienta de aprendizaje y no utilizan el razonamiento para comprender lo que están haciendo o lo que se les pide que hagan.

Este es el motivo fundamental que me ha llevado a crear este blog. Quiero que sea un lugar al que pueda acudir cualquier persona interesada por comprender contenidos relacionados con las matemáticas, incluido tanto el profesorado como el alumnado de Secundaria y Bachillerato. 

Para ello, periódicamente iré tratando algunas cuestiones que he comprobado en mi práctica docente que suelen plantear dificultades de comprensión al alumnado, procurando utilizar un lenguaje comprensible sin perder el rigor propio de la materia. 

Por otro lado, quiero acercar las matemáticas a nuestra vida cotidiana por lo que, de vez en cuando, iré mostrando aplicaciones de las distintas partes de las matemáticas a la vida real.

Y por último, me gustaría que este blog fuera también "vuestro blog de matemáticas". Por eso, os animo a que os pongáis en contacto conmigo a través de los comentarios o del correo electrónico y me indiquéis qué cuestiones concretas os gustaría que se trataran porque os resulten especialmente complicadas de entender.

Gracias por vuestra colaboración.