Introducción a las inecuaciones

Seguramente, en los problemas que has tenido que resolver hasta ahora las condiciones que deben cumplir las incógnitas venían dadas en términos de igualdad (=) por lo que, al traducir el enunciado a lenguaje algebraico, obtenías una ecuación o un sistema de ecuaciones que debías resolver por alguno de los método conocidos. 

Pero no siempre ocurre así. En la vida cotidiana, a veces las condiciones que deben cumplir las incógnitas vienen expresadas en términos de desigualdad. Nos encontramos con expresiones del tipo:

• "... debe ser inferior a ..." :   es menor que  (<)
• "... es superior a ..." :   es mayor que  (>) 
• "... debe ser al menos ..." :   es mayor o igual que   (⩾)
• "... no puede superar ..." :   es menor o igual que  (⩽)
• "... es como máximo ..." :   es menor o igual que  (⩽)
• "... debe ser como mínimo ..." :   es mayor o igual que  (⩾)

En estos casos, al traducir el enunciado a lenguaje algebraico para plantear el problema tendremos que utilizar desigualdades entre expresiones algebraicas. 

Veamos algunos ejemplos:

• En un examen de 40 preguntas te dan 2 puntos por cada acierto pero te restas 0,5 puntos por cada fallo.¿Cuántas preguntas hay que responder bien para obtener como mínimo 40 puntos si es obligatorio contestar a todas las preguntas del examen?

• ¿Cuántos kilos de pintura de 3,5€/kg debemos mezclar con 6 kg de otra de 5€/kg para que el precio de la mezcla sea inferior a 4€/kg?

• Dos ciudades A y B distan 160 km. De cada una de ellas sale un coche a la misma hora. Si el que sale de A lleva una velocidad de 75 km/h, qué velocidad puede llevar el otro para que tarden en encontrarse menos de 1 hora, respetando la limitación de velocidad de 120km/h que marca la ley?

• Una empresa A te ofrece un sueldo fijo de 500€ más 20€ por cada venta que realices mientras que otra empresa B de la competencia te ofrece un sueldo fijo de 750€ más 10 € por cada venta que realices. ¿A partir de cuántas unidades vendidas es superior el sueldo de la empresa A al de la B?

¿Y qué es una inecuación? 

Recordando un poquito nuestras clases de lengua deducimos que, como la palabra  en cuestión empieza por el prefijo "in" que significa "no", debe ser algo así como una "no ecuación"...

Y no vamos desencaminados porque esa es la idea:

Cuando relacionamos dos expresiones algebraicas mediante una relación de igualdad obtenemos una ECUACIÓN, pero si las expresiones algebraicas vienen relacionadas mediante relaciones de desigualdad (mayor, mayor o igual, menor, menor o igual) tenemos una INECUACIÓN.

Una solución de una inecuación es un valor de la incógnita que cumple la desigualdad.

En el ejemplo anterior, x=0 es una solución porque 0-3 es menor o igual 0+6  (-3⩽6) .
Sin embargo, x=4 no es una solución porque 20-3 no es menor o igual que 8+6  (17⋠14).

El problema es que habitualmente hay "muchos" números que cumplen la desigualdad y tendremos que encontrarlos todos. Veremos más adelante que las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones que tendremos que dar en forma de intervalo.

Al igual que ocurre con las ecuaciones, hay diversos tipos de inecuaciones:

• Según el número de incógnitas: con una incógnita o con más de una.

• Según el grado de las expresiones algebraicas resultantes: lineales o de primer grado, cuadráticas o de segundo grado...

¿Cómo se resuelven las inecuaciones lineales de primer grado?

En esta entrada del blog solo pretendo hacer una introducción al estudio de las inecuaciones así que únicamente resolveremos con detalle las más sencillas: las inecuaciones lineales con una incógnita.

Para resolver inecuaciones aplicaremos las propiedades de las desigualdades que conocemos para los números reales:

Estas propiedades se enuncian así, en general:

Si somos cuidadosos al aplicar estas propiedades veremos que el proceso de resolución de inecuaciones lineales con una incógnita es muy parecido al de las ecuaciones lineales, pero debemos tener mucho cuidado cuando necesitemos multiplicar o dividir los dos miembros de la desigualdad por números negativos (por ejemplo, para cambiar de signo) porque tendremos que cambiar el sentido de la desigualdad.

Vamos a ver el proceso de resolución, paso a paso, en el siguiente ejemplo:

Las soluciones serán todos los número reales mayores que 8. Observa cómo se indica la solución:

Veamos otro ejemplo resuelto, también, paso a paso:

La solución será el intervalo abierto  (4, + infinito).

Por último, observa el siguiente ejemplo en el que hemos realizado los cálculos más rápido:

Fíjate que en el último paso hemos multiplicado por (-1) para despejar x, por lo que el sentido de la desigualdad cambia de mayor a menor.

La solución será ahora el intervalo abierto  (- infinito, 2).

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Pero, una vez que has entendido el procedimiento para resolver estas ecuaciones, lo importante es que las resuelvas tú. A continuación tienes un enlace con ejercicios para practicar:

Inecuaciones de primer grado

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Y ya puestos, podrías resolver los cuatro problemas que planteábamos al principio. Te dejo la solución para que puedas comprobar si los has resuelto bien:

1)  Debes responder bien al menos 24 preguntas.

2)  Debemos mezclar al menos 12 kg de pintura de 3,5€/kg

3)  Debe llevar una velocidad mayor que 85 km/h y menor que 120 km/h

4)  A partir de 25 unidades vendidas.

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¿Para qué sirven las inecuaciones?

Posiblemente estarás pensando que solo necesitarás las inecuaciones para resolver los típicos problemas que aparecen en los libros de texto para que alumno practique pero que luego no las volverás a utilizar más porque no tienen aplicación en la vida real. 

Sin embargo, no es así. Vamos a ver algunas situaciones en las que deberemos utilizarlas.

En primer lugar, dentro del campo de las matemáticas, las inecuaciones nos permitirán obtener el dominio de algunas funciones.

Recuerda que el dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Por lo tanto, cuando necesites hallar el dominio de funciones irracionales en las que aparezcan raíces de índice par o el de funciones logarítmicas tendrás que resolver inecuaciones.

Observa los siguientes ejemplos:

Por otro lado, es frecuente que en cuestiones de economía, ingeniería, tecnología, biología, física... nos encontremos con el hecho de que las variables que estamos manejando deben cumplir una serie de condiciones expresadas en forma de desigualdad.

Dichas variables tendrán restricciones o limitaciones que hemos de tener en cuenta . Por ejemplo, en el tiempo que disponemos para realizar una acción, en la capacidad de la que disponemos para almacenar productos, en la cantidad de dinero disponible para gastar o para realizar una inversión... 

Una de las principales utilidades de las inecuaciones es su aplicación a los problemas de decisión: se trata de programar una situación con el objetivo de decidirse por una alternativa que sea óptima. En general, el proceso de optimizar consiste en lograr un resultado máximo o mínimo según convenga al problema planteado y para ello el uso de inecuaciones resultará fundamental.

Uno de los problemas de optimización más comunes en economía son los problemas de programación lineal en cuyo planteamiento se requiere satisfacer una serie de condiciones que vienen dadas en términos de desigualdad. 

Veamos algunos ejemplos para que localices las expresiones que indican desigualdad:

1)  "Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina para L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio".

Es un ejemplo típico de problema de maximización de beneficios donde las restricciones vienen dadas por las horas de trabajo manual y las horas de trabajo de máquina que no podemos sobrepasar.

2)  "En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?"

Se trata de minimizar el coste de una dieta en la que se han de aportar unas cantidades mínimas de ciertos componentes.

La resolución de este tipo de problemas se aborda en 2º de Bachillerato en la modalidad de Ciencias Sociales.

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Si te has quedado con ganas de saber cómo resolver otros tipos de inecuaciones o qué es eso de la programación lineal, te dejo algunos enlaces para que puedas ampliar tus conocimientos:

Matemáticas Online 4º ESO: Inecuaciones y Sistemas

Programación Lineal (2º Bach.- Matemáticas Aplicadas CCSS)