Errores en las aproximaciones

Es muy frecuente que, al trabajar con números, tengamos que utilizar valores aproximados. A veces, lo hacemos porque nos resulta más cómodo pero, en otras ocasiones, nos vemos obligados a usarlos porque no conocemos el valor exacto y nos resulta muy difícil o imposible obtenerlo.

Por otro lado, cuando realizamos mediciones obtenemos valores generalmente aproximados.

En cualquier caso, es fundamental controlar el error que cometemos en dicha aproximación para decidir si el valor aproximado es suficientemente bueno o no.

• Vamos a comenzar estudiando el caso en el que conocemos tanto el valor real como el valor aproximado.

Es una situación muy frecuente. Se da, por ejemplo, siempre que decidimos redondear un número conocido, considerando solo algunas de sus cifras (las llamadas, cifras significativas). En este caso, es muy fácil conocer el error cometido en la aproximación.

Definimos el ERROR ABSOLUTO como la diferencia entre el valor real y el valor aproximado, considerada en valor absoluto:

Así, por ejemplo, si decidimos aproximar 2'624 por 2'6 hemos cometido un error absoluto de 0'24 unidades:

Pero, ¿hemos realizado una buena aproximación o no? Dicho de otro modo, ¿el error cometido es grande o pequeño?

El concepto de error absoluto no nos permite responder a estas cuestiones con claridad. 

Te pondré un ejemplo:

"Imagina que estás contando los 30 alumnos del grupo 3ºA y cometes un error de 3 alumnos. Tu compañera ha contado todos los alumnos del instituto, que son 600, y también ha cometido un error de 3 alumnos". ¿Qué medición crees que ha sido mejor? 

Observa que los dos habéis cometido el mismo error absoluto, 3 alumnos... Pero, claro, no es lo mismo cometer un error de 3 personas cuando contamos un grupo de 30 que cuando lo hacemos con un grupo de 600, ¿verdad?

Para valorar la calidad de una medición o de una aproximación, o para comparar varias mediciones introducimos el concepto de ERROR RELATIVO que se define como el cociente entre el error absoluto cometido y el valor exacto:

Es muy frecuente, expresar el error relativo en forma de porcentaje, multiplicando el valor obtenido por 100. De esta manera, es más fácil valorar si el error relativo es suficientemente pequeño como para considerar que hemos realizado una buena aproximación, o si el error es grande y debemos buscar una aproximación mejor tomando alguna cifra significativa más.

Así, en el ejemplo anterior, al cometer un error absoluto de 3 personas cuando pretendíamos contar los 30 alumnos de 3ºA cometimos un error relativo de 3/30 = 0'1, que representa un 10% de error relativo porcentual.

Sin embargo, cuando cometimos un error absoluto de 3 personas al contar los 600 alumnos de todo el instituto, cometimos un error relativo de 3/600 = 0'005, lo que representa un 0'5% de error relativo porcentual.

Deducimos que, en el primer caso cometimos un error relativo muy grande, mientras que en el segundo caso, el error relativo ha sido pequeñísimo.

Por lo tanto, si queremos comparar distintas aproximaciones o si queremos decidir si una aproximación es buena o mala, debemos trabajar siempre con errores relativos.

El error relativo es el que nos indica la calidad de la medida que hemos tomado o de la aproximación realizada.

Veamos otro ejemplo más: 

Estamos midiendo la longitud y la altura de una mesa de la que conocemos las medidas reales, que son las siguientes:

• Pero, ¿qué pasa si no conocemos el valor real (o valor exacto) del número o de la medición?

Esta situación también es muy habitual. Se da, por ejemplo, siempre que pretendemos trabajar con números irracionales. No podemos expresar el valor exacto de un número irracional porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Tendremos que conformarnos con tomar un valor aproximado.

En estos casos, no podemos calcular el error absoluto ni el relativo porque no conocemos el valor real. ¿Cómo podremos valorar si la aproximación considerada es buena o mala?

Para ello, introducimos los conceptos de COTA DEL ERROR ABSOLUTO y COTA DEL ERROR RELATIVO.

Partimos del siguiente ejemplo:

Tomamos 2'4 como valor aproximado de un número obtenido mediante redondeo. ¿Cuál es el máximo error absoluto que hemos podido cometer? 

Si hemos aplicado bien la técnica del redondeo, el número exacto debe estar comprendido entre 2'35 y "casi" 2'45, por lo que el máximo error se cometería cuando el número exacto fuera 2'35, en cuyo caso el error absoluto sería 0'05 unidades.

Por lo tanto, podemos asegurar que el error absoluto cometido en nuestra aproximación será menor o igual que 0'05 unidades. 

A ese valor (0'05) se le denomina cota del error absoluto.

Observa cómo hemos obtenido dicha cota:

La última cifra significativa considerada en la aproximación es el 4, que representa la cifra de las décimas.

La cota del error absoluto es la mitad de una unidad del orden de la última cifra significativa considerada. En nuestro ejemplo, la cota es la mitad de una décima, es decir:

Ea < 0'1/2 = 0'05

También podemos decir que la cota del error absoluto es 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.

En nuestro ejemplo, la primera cifra no utilizada en el redondeo es la de las centésimas, por lo que, según este criterio, la cota del error absoluto serían 5 centésimas.

La cota del error relativo se obtiene dividiendo la cota del error absoluto entre el valor conocido (que es el aproximado). 

En el ejemplo anterior, la cota del error relativo cometido sería 0'05/2'4 = 0'0208333..., que pasado a porcentaje, indica que el error relativo cometido al tomar el valor 2'4 como si fuera exacto es inferior al 2%.

Pongamos otro ejemplo:

Esta aproximación del número "pi", ¿es suficientemente buena? ¿Qué error cometemos cuando la utilizamos?

Como la última cifra significativa utilizada es 4, que corresponde con la cifra de las centésimas, la cota del error absoluto sería la mitad de una centésima:

Ea < 0'01/2 = 0'005

Y, por lo tanto:

Er < 0'005/3'14 = 0'00159...

Es decir, al tomar el valor de "pi" como 3'14 cometemos un error relativo inferior al 0'159%. 

Como puedes comprender, es un error pequeñísimo que nos permite utilizar dicha aproximación con toda tranquilidad, salvo que estemos realizando cálculos de una enorme precisión.

Resumiendo:

• Es muy frecuente trabajar con números aproximados, bien porque no conozcamos los valores exactos o porque resulte muy engorroso trabajar con muchas cifras significativas.

• Cuando trabajemos con números aproximados debemos controlar la precisión de dicha aproximación, y, para ello calcularemos el error relativo (si se conoce el valor real y el valor aproximado) o una cota del error relativo (cuando solo se conozca el valor aproximado)