La regla de Ruffini

Como habrás podido comprobar en más de una ocasión, la forma tradicional de dividir dos polinomios es bastante engorrosa.

Sin embargo, el matemático y médico italiano Paolo Ruffini (1755-1822) encontró una forma muy sencilla de obtener los coeficientes del cociente y del resto de la división de un polinomio cualquiera entre un binomio que tenga la forma x-a.

Lo que hizo fue, simplemente, observar con detalle cómo se realizaba el algoritmo de la división de un polinomio P(x) entre x-a, y eliminar lo que no era necesario para obtener el cociente y el resto. Básicamente, dejó de escribir todas las x.

Fíjate en el siguiente ejemplo:

Si comparas con cuidado ambas divisiones comprobarás que toda la información relevante de la primera división está en las columnas de la división realizada usando el método de Ruffini. Todo lo demás es innecesario. 

En el siguiente enlace podrás apreciar con detalle cómo se efectúa cada una de las divisiones y la relación entre ambos procedimientos:

Ejemplo realizado paso a paso

• Ahora vamos a recordar cómo se realizan los cálculos en la regla de Ruffini:

Recuerda los pasos que debes seguir para aplicar la regla de Ruffini:

• Ordenamos el dividendo de mayor a menor grado y escribimos sus coeficientes en línea, completando con 0 cuando falte algún término (recuerda que si un término no aparece es porque está multiplicado por 0, luego su coeficiente es 0)

• Escribimos el término a del binomio x-a en el lugar destinado al divisor (segunda fila, a la izquierda)

• Bajamos el coeficiente del término de mayor grado del dividendo.

• Multiplicamos dicho coeficiente por a y colocamos el resultado debajo del segundo coeficiente del dividendo.

• Sumamos estos números y colocamos el resultado debajo.

• Repetimos este proceso hasta acabar con todos los coeficientes del dividendo.

• Separamos el elemento que está situado a la derecha de la fila de las sumas (la última) que será el RESTO de la división.

• Volvemos a colocar las x en los términos correspondientes al COCIENTE.

Veamos ahora otro ejemplo. En este caso, el divisor es x+1 por lo que a = -1:

Como puedes comprobar, la regla de Ruffini no es más que una forma rápida y sencilla de efectuar divisiones en las que el divisor tenga la forma x-a. 

También se puede emplear cuando el divisor tenga otras formas (ax+b, por ejemplo) pero no es muy habitual hacerlo.

• Por último, te indicaré algunas situaciones en las que será muy útil emplear la regla de Ruffini:

Sabes que una división que tiene resto 0 se denomina exacta. Pues bien, las divisiones exactas entre polinomios nos permiten hallar raíces enteras de un polinomio (es decir, números enteros que sustituidos en el lugar de la indeterminada del polinomio dan valor numérico 0) y, también, factorizar polinomios.

Veamos un ejemplo:

Estos procedimientos serán muy necesarios, por ejemplo, para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de varios polinomios, para sumar o restar fracciones algebraicas e, incluso, para resolver ecuaciones de grado mayor o igual a 2, pero eso ya lo veremos en otra entrada posterior...

Si estás interesado en repasar el cociente de polinomios, la regla de Ruffini y las técnicas para factorizar polinomios, puedes hacerlo con el material interactivo que encontrarás en los siguientes enlaces. Se trata de un material elaborado por la Junta de Extremadura (Proyecto ATENEX) y es muy interesante. Te lo recomiendo:

COCIENTE DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS