"Profe, pero...¿qué es la ecuación de una recta?"

El estudio de la geometría analítica supone un cambio importante en la visión que tienen los alumnos de la geometría.

Las figuras (rectas, circunferencias, parábolas...) ya no son simples líneas, si no que vienen determinadas por unas ecuaciones que las caracterizan.

La idea de escribir este artículo surge de una experiencia real ocurrida cuando explicaba las ecuaciones de una recta a un grupo de alumnos de 4º ESO.

Después de una breve incursión en el mundo de los vectores, empezamos a estudiar las ecuaciones de la recta.

Los alumnos saben que una recta viene determinada por dos puntos, y, a partir de esta idea, introducimos el concepto de vector director de la recta como un vector que nos indica la dirección de la recta. 
Recordamos el concepto de pendiente de una recta que ya estudiaron en 3º al trabajar el tema dedicado a las funciones lineales.

Vemos que todos estos elementos están relacionados puesto que, a partir de dos puntos A y B, podemos formar el vector AB que nos da la dirección de la recta y, también, hallar la pendiente de dicha recta:

         

Les hablo entonces de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta, y el procedimiento para pasar de unas a otras. Y les insisto en que son expresiones aparentemente distintas de la misma recta.

Para finalizar, resolvemos un ejercicio que nos sirva de ejemplo. 

El ejercicio nos pide que hallemos las distintas ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(2,1) y B(4,5).

Calculamos con detalle el vector director AB = (4-2, 5-1) = (2, 4) y la pendiente, m = 4/2 = 2, hallamos la ecuación punto-pendiente   y = 1 + 2(x - 2)   y, a partir de ella, la ecuación explícita   y = 2x - 3   y la ecuación general   2x - y - 3 = 0. 

El ejercicio quedó perfecto, todo muy claro. Pero, cuando me disponía a borrar la pizarra para continuar con la explicación, una de mis alumnas levanta la mano y me pregunta: 

"Profe, pero... ¿qué significa que y = 2x - 3  sea la ecuación de la recta?"

En principio, la pregunta me sorprendió porque había explicado con detalle todos los pasos del ejercicio y parecía que todo había quedado claro. 

Es posible que los profesores nos centremos demasiado en enseñar a nuestros alumnos los procedimientos para obtener las distintas ecuaciones de la recta, y pasemos por alto lo más importante, explicar qué es realmente la ecuación de una recta. O, tal vez, sí que expliquemos el significado de la ecuación de la recta pero nuestros alumnos no lleguen a entenderlo.

Pero, ¿de qué sirve que sepan hallar la ecuación de una recta en todas las situaciones posibles si no comprenden lo que representa la ecuación que han obtenido?

Entonces, contesté a mi alumna del siguiente modo:

"La ecuación de una recta nos indica la relación que deben cumplir las coordenadas x e y de un punto P(x,y) para pertenecer a dicha recta".

Por lo tanto, que la ecuación de la recta del ejemplo sea y = 2x - 3 significa que los puntos situados en dicha recta se caracterizan por tener una ordenada (y) que es igual al producto de su abscisa (x) por 2, menos 3 unidades. 

Entonces, ¿cómo podemos saber si el punto P(5,7) pertenece a la recta anterior?

Debemos comprobar si las coordenadas x=5 e y=7 verifican la ecuación de la recta, es decir, si al sustituir x por 5 (que es la abscisa del punto P) en la ecuación y = 2x - 3 obtenemos como resultado 7 (que es la ordenada de P).

A continuación, les propuse que comprobaran si el punto Q(1,0) pertenecía a la recta anterior. Rápidamente respondieron que no.

Ya podíamos continuar con la explicación porque los alumnos habían comprendido el significado de la ecuación de una recta.

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Además, ahora ya pueden entender el significado de la ecuación de cualquier curva, por ejemplo, la ecuación de una circunferencia o de una parábola.

                

¿Qué significa que la ecuación de una curva sea y=f(x) (en forma explícita) o f(x,y)=0 (en forma implícita)? Significa que para que un punto genérico P(x,y) pertenezca a dicha curva sus coordenadas x e y deben cumplir la relación dada por dicha ecuación.

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Y cuando trabajen en el espacio tridimensional, comprenderán el sentido que tiene la ecuación general de un plano o las ecuaciones implícitas de una recta, puesto que, nuevamente, indicarán las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un punto genérico del espacio P(x,y,z) para estar situado en dicho plano o en dicha recta.

Como puedes ver, la idea es siempre la misma. Por eso es tan importante que sepas responder con claridad a la pregunta que originó este artículo: "¿Qué es la ecuación de una recta?"