Propiedades de las potencias.

Es relativamente frecuente encontrar alumnos que operan mal con potencias, incluso los encontramos en cursos de nivel superior como bachillerato e, incluso, en nivel universitario.

Muchos de ellos se preguntan por qué están mal las siguientes igualdades, si todas ellas parecen muy "lógicas" (...según su propia "lógica", claro...) :

(1)                (2)                (3)  

    

Otros se cuestionan por qué no se pueden realizar así las siguientes operaciones:

(4)                       (5)

El problema suele estar en que, en su momento,  nos aprendemos de memoria las propiedades de las operaciones con potencias y luego las intentamos aplicar "como las recordamos", que suele ser "mal" y de ahí provienen la mayoría de los errores. 

Vamos a intentar responder a las cuestiones iniciales ayudados del concepto de potencia. 

Las potencias de exponente natural surgen de la necesidad de expresar de una manera sencilla el producto de un número multiplicado por sí mismo unas cuantas veces. Para ello, definimos:

De este modo:  

Podemos concluir diciendo que una potencia de exponente natural no es más que una forma abreviada de escribir el producto de varios factores iguales.

Si tenemos en cuenta esta interpretación, es fácil comprender cuál es la forma correcta de realizar las operaciones con potencias que nos planteábamos al inicio del artículo:

(1) y (2)           

 (3)        

Realicemos ahora de forma correcta las otras operaciones. 

(4)     

  

mientras que el segundo miembro de dicha igualdad es: 

       

Como puedes observar, los resultados son diferentes.

Y por último, recuerda que no hay propiedades que permitan sumar potencias aunque tengan la misma base o el mismo exponente. Por ello, tenemos que operar del siguiente modo:

 (5)   

mientras que el segundo miembro de dicha igualdad es:

Nuevamente, puedes comprobar que los resultados son diferentes.

Una observación: Para que las propiedades de las operaciones con potencias tengan sentido hemos de admitir un convenio:  

puesto que no tiene sentido "multiplicar un factor por él mismo cero veces", ¿verdad?

No estoy en contra de aprenderse las propiedades de las operaciones con potencias de memoria. Lo importante es que, si tenemos alguna duda a la hora de utilizarlas, desarrollemos las potencias y las deduzcamos.

Es preferible ir despacio y utilizar bien las propiedades, que emplearlas mal y equivocarnos en los cálculos.

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Ahora ya podemos definir "potencia de exponente negativo" del siguiente modo:

Así, por ejemplo:  

Y, por último, definimos "potencia de exponente fraccionario" del siguiente modo:

Por lo que:

Y no olvides que las propiedades de las operaciones con cualquier tipo de potencias (de exponente natural, de exponente negativo o de exponente fraccionario) son las mismas:

Operar correctamente con potencias te resultará muy útil puesto que te permitirá realizar algunos cálculos más o menos complejos que tendrás que resolver con cierta frecuencia. A continuación te muestro algunos ejemplos:

• Operaciones en notación científica:

• Operaciones con radicales:

Si operas correctamente con potencias, te resultará más sencillo operar con los temidos radicales porque un radical no es otra cosa que una potencia de exponente fraccionario. Fíjate en el ejemplo siguiente:

• Resolución de ecuaciones exponenciales:

Como has podido comprobar en estos ejemplos, resulta muy útil operar correctamente con potencias, y para ello no debes olvidar la interpretación que hemos hecho de una potencia como una forma abreviada de expresar el producto de varios factores iguales.

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Para practicar

A continuación te dejo varios enlaces en los que encontrarás actividades sobre potencias, clasificados por niveles de dificultad:

• Nivel básico 1   (Libros Vivos - SM)

• Nivel básico 2   (Anaya)

• Nivel medio   (Muy completo: teoría y ejercicios)

• Nivel avanzado   (Notación científica, radicales...)