¿Se pueden entender las matemáticas? : Cálculo de límites: Indeterminaciones

En varias entradas anteriores hemos intentado comprender el concepto de límite de una función en un punto y límite de una función en infinito:

El concepto de límite de una función en un punto

El concepto de límite de una función en infinito

Ahora pretendo que conozcas algunos recursos interesantes a la hora de calcular límites de funciones y que, además, comprendas el concepto de indeterminación.

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

Comencemos con algunas propiedades básicas sobre límites que agilizan mucho su cálculo:

Estas propiedades se entienden bien cuando las funciones f y g tienen límites finitos pero también pueden aplicarse a funciones con límites infinitos, teniendo en cuenta los siguientes resultados:

Sería un ejercicio muy recomendable que intentaras razonar por qué es cierta cada una de las expresiones anteriores.

Recuerda que "infinito" no es un número real sino un símbolo que utilizamos para indicar que dicha función toma valores tan grandes como queramos en la zona en la que estamos hallando el límite.

Cuando intentes comprender los resultados anteriores, recuerda que, cada vez que aparezca 0 en un límite, debes interpretarlo como "números tan pequeños como queramos" y cuando aparezca "∞" lo interpretas como "números tan grandes como queramos". Verás como te resultan lógicas todas ellas.

INDETERMINACIONES

Sin embargo, al calcular límites de funciones nos encontraremos en muchas ocasiones con expresiones cuyo resultado no se podrá determinar directamente utilizando las propiedades habituales de los límites de funciones. En estos casos, el resultado del límite dependerá de la función concreta que estemos estudiando.

Dichas expresiones reciben el nombre de indeterminaciones y son las siguientes:

Vamos a intentar comprender por qué son indeterminaciones, es decir, expresiones cuyo resultado no se puede conocer de antemano ya que depende de las funciones que intervengan en el límite.

Como hemos comentado anteriormente, el error principal que se suele cometer es considerar "∞" como un número real e intentar operar con él como si lo fuera.

Por ejemplo, es muy habitual creer que "∞-∞" es 0 siempre, puesto que lo consideramos como un número real, pero no es así. Recuerda que cada vez que aparezca 0 como resultado de un límite debemos sustituirlo por la expresión "números tan pequeños como queramos" y cuando aparezca "∞" hemos de sustituirlo por "números tan grandes como queramos".

De este modo, "∞-∞" se interpreta como "un número muy, muy grande" menos "otro número muy, muy grande". Pero, ¿cuál de las dos cantidades es más grande?
Ahí surgen las distintas posibilidades:

Si es más grande (de orden superior) el primero , la diferencia será muy grande y positiva, y el resultado tenderá a "+∞".

Si es más grande (de orden superior) el segundo, la diferencia será muy grande pero negativa, y el resultado tenderá a "-∞".

Pero si los dos son muy grandes del mismo orden, la diferencia puede tender a un número real.

Como puedes observar, una misma expresión da lugar a resultados distintos según la función que estés considerando. Por eso se llama "indeterminación".

Sería bueno que intentaras seguir el mismo proceso de razonamiento con otras expresiones indeterminadas, tomando valores muy grandes o muy pequeños, según el caso. Puedes utilizar tu calculadora para hacer las operaciones necesarias.

CÁLCULO DE LÍMITES: TÉCNICAS BÁSICAS

Recuerda que el hecho de que te encuentres una indeterminación no significa que la función no tenga límite. Solo indica que no puedes obtenerlo siguiendo las propiedades habituales.

Debes intentar que dicha indeterminación desaparezca utilizando algunas técnicas de cálculo específicas para cada situación.

En los siguientes enlaces puedes encontrar ejemplos en los que se muestra cómo debes actuar para "evitar las principales indeterminaciones":

Ejemplos resueltos de límites de funciones. Indeterminaciones

Ejercicios sobre límites de funciones

Teoría y ejercicios (Proyecto Matex)

INFINITÉSIMOS E INFINITOS EQUIVALENTES